y 2 y 2 x x2 a 1 x z 1 1 a2 x2 a2 x2 a2 x2 Integreerimispiirkond kujutab endast veerandringi, s.t. z a2 x 2 , kus x 0, a . Järelikult a2 x2 a a2 x2 a a z S 8 dz dx 8 a dx
8. Kolmekordne integraal ja selle arvutamine kolmikintegraali abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks. Kolmikintegraal üle pinna V: 9. Kolmekordse integraali arvutamine silinder- ja sfäärikoordinaatides, näiteid Kui integreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoord. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z; φЄ[α;β]. V=ʃʃʃf(ρcosφ, ρsinφ, z)ρdρdφdz Kui integeerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek sfäärikoordinaatidele x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ V=ʃʃʃf(rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ)r2sinθdrdφdθ 10. Kolmekordse integraali rakendused: ruumilise kujundi ruumala, mass, masskese, inertsmomendid, näide
re pikkust, leida kehade ruumala, arvutada jõu poolt tehtud tööd, leida masskeskme koordinaate, arvutada teatud masspunktide süsteemide inertsmomente jne (vt [5], lk 462-483). 4.7 Päratud integraalid b Määratud integraali a f (x)dx definitsioonis eeldatakse, et funktsioon f on pidev ja lõik [a, b] on lõplik. Integraali mõistet on võimalik üldistada ka juhule, kui integreerimispiirkond on lõpmatu. Olgu funktsioon y = f (x) määratud poollõigus [a, +) ja integreeruv suvalisel lõigul [a, b], kus b > a. Kui leidub piirväärtus b lim f (x)dx, b+ a siis seda nimetatakse funktsiooni y = f (x) päratuks integraaliks ja tähistatakse sümboliga
t. vastupidi kellaosuti liikumise suunale). Jooniselt on kerge saada ristkoordinaaride avaldised sfäärkoordinaatide kaudu: Muutuja vahetuse valemist (25.3.) saame kolmekordse integraali teisendamise valemi sfäärkoordinaatidesse: Sfäärkoordinaate kasutatakse kolmekordse integraali arvutamiseks eelkõige juhul, kui integreerimispiirkond on piiratud sfääri või selle osaga, s.t. integreerimispiirkonnaks on kera või mingi kera osa. 8. Esimest liiki joonintegraal: põhjalik selgitus joonisega (vastava joone jaotus, integraalsumma jne); joone pikkus; silinderpinna pindala; joone mass. Olgu antud ruumiline kõverjoon l otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kolme muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1
et 0 j¨areldub, et ka piirkondade D1 ja D2 osapiirkondade suurimad diameetrid l¨ahenevad nullile ja omaduse v¨aite saame, kui v~orduse n f (Pk )sk = f (Pk )sk + f (Pk )sk k=1 D1 D2 m~olemalt poolt leiame piirv¨a¨artuse piirprotsessis 0. 7.3 Kahekordse integraali arvutamine Selles punktis eeldame, et integreerimispiirkond D on t~okestatud ja kinnine. Piirkonda D nimetatakse regulaarseks y-telje sihis, kui iga y-teljega paralleel- ne sirge, mis l¨abib piirkonna D sisepunkte, l~oikab piirkonna rajajoont kahes punktis. y-telje sihis regulaarne piirkond on kirjeldatav v~orratustega a x b ja 1 (x) y 2 (x). Olgu piirkonnas D m¨a¨aratud pidev funktsioon f (x, y). Integraali b 2 (x)
2)kui integreerimis piirkond on regulaarne x-telje sihis ning piiratud vasakult joonega, mille võrrandiks on x = 1 ( y ) , ja paremalt joonega, mille võrrandiks on x = 2 ( y ) , st kui d 2 ( y) D y = [c, d ], 1 ( y ) < 2 ( y ), c < y < d , siis f ( x, y)dxdy = dy f ( x, y )dx D c 1( y) 3) kui integreerimispiirkond D on regulaarne, siis on kaksikintegraalid võrdsed ja integreerimisjärjelord määratakse vastavalt integreerimispiirkonna kujule nii, et arvutisi oleks võimalikult vähe ja nad oleksid võimalikult lihtsad. 4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita.
annaabi.ee 
