F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0 2 1 2 1 Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3
F ( x ) - F ( x ) = 0 ehk [ F ( x ) - F ( x ) ] = 0 2 1 2 1 Nulltuletisteoreemi kohaselt (kui funktsioon omab vahemiku igas punktis tuletist ja see tuletis on kõikjal 0, siis funktsioon on konstantne) on F2 ( x ) - F1 ( x ) = const m.o.t.t. Def Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3
pidevatest joontest tüüpi y=(x) või x=(y). Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a x b) ((x) y (x))} kus funktsioonid (x) ja (x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist , mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Selles avaldises arvutatakse esmalt sulgudes olev integraal, kusjuures y on integreerimismuutujaks, x aga loetakse konstantseks. Integreerides saadakse argumendi x pidev funktsioon: . Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus
Regulaarset piirkonda D = {(x; y) | (a ≤ x ≤ b) ᴧ (φ(x) ≤ y ≤ ψ(x))} kus funktsioonid φ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a;b] nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes) Olgu funktsioon f(x,y) pidev piirkonnas D. Vaatleme avaldist , mida nimetame funktsiooni f(x,y) kaksikintegraaliks üle piirkonna D. Selles avaldises arvutatakse esmalt sulgudes olev integraal, kusjuures y on integreerimismuutujaks, x aga loetakse konstantseks. Integreerides saadakse argumendi x pidev funktsioon: . Seda funktsiooni integreerime x järgi rajast a kuni rajani b: . Tulemuseks saame mingi arvu. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abil: Pideva funktsiooni f(x,y) kahekordne integraal üle regulaarse piirkonna D võrdub selle funktsiooni kaksikintegraaliga üle sama piirkonna D (eeldame, et piirkond D on piiratud joontega Tõestus
n +1 x 1. x n dx = + C , n -1 n +1 (xn) dx = n * x(n-1) dx xn+c= n * x(n-1) dx : n (xn+c)/n = x(n-1) dx Tähistame a=n-1 ja n=a+1 ja saame xa dx = xa+1/a+1 + c Integraali arvutamine tabeli kaudu- INTEGRAALI TABEL Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis- määramata integraali korral- keerukama avaldise korral võetakse integreerimismuutujaks uus muutuja (tähistame näiteks t, z u), mille sõltuvus x-st valitakse nii, et integraal teiseneks põhivalemite abil võetavaks. Peale integreeritava funktsiooni tuleb avaldada uue muutuja kaudu ka integreerimismuutuja x = ( t ) dx = ( t ) dt diferentsiaal dx. Muutuja vahetuse valemi üldkuju: Üks eriti tore valem
19. Muutujate vahetuse meetod (muutujate vahetuse selgitus). Oletame, et on vaja leida integraal , kusjuures f(x) algfunktsiooni ei ole lihtne vahetult leida. Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = (t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis: dx = '(t)dt ning kehtib võrdus . Valemit nimetatakse määramata integraali muutujate vahetuse valemiks. Muutujat t nimetatakse uueks integreerimismuutujaks. 20. Ositi integreerimine (ositi integreerimise valemi selgitus). Teoreem. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning eksisteerigu määramata integraal , siis kehtib võrdus: = uv - Selgitus. Viimast valemit nimetatakse määramata integraali ositi integreerimise valemiks ja seda kasutatakse niisuguste avaldiste integreerimisel, mida saab esitada kahe teguri u ja dv korrutisena. Funktsioon u on sellinne, mis diferentseerimise kaudu muutub lihtsamaks
0 · Niisiis on määratud integraal selline elukas: n b lim max xi 0 i =1 f( )x i i = a f(x) dx , kus arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks ja arv b kannab nimetust integraali ülemine rada. Lõiku [a, b] nimetatakse integreerimispiirkonnaks, suurust x nimetatakse integreerimismuutujaks ja funktsiooni f(x) INTEGREERITAVAKS FUNKTSIOONIKS DEF 2 n lim Kui funktsiooni f(x) korral eksisteerib piirväärtus max xi 0 i =1 f(i)xi , siis nimetatakse funktsiooni f(x) integreeruvaks lõigul [a, b]
1 1 2x x 2 2 xy ID dy dx. 0 1 2x x 2 2 x Arvutame kõigepealt sisemise integraali 1 2x x 2 xy dy. 1 2x x 2 2 x Selles integraalis on integreerimismuutujaks y, kusjuures muutujat x vaatleme konstandina 1 2x x 2 xy x 1 2x x 2 x y2 1 2x x 2 dy ydy 2 1 2x x2 2 x 2 x 1 2x x2 2 x 1 2x x 2
1. y-telje sihis regulaarne piirkond nimetatakse funktsiooni f (x, y) kaksikintegraaliks u ¨le piirkonna D. Kaksikin- tegraali arvutamine seisneb kahe j¨arjestikuse m¨a¨aratud integraali arvutami- ses. Esiteks arvutatakse nn seesmine integraal 2 (x) (x) = f (x, y)dy. 1 (x) Siin on integreerimismuutujaks y ja muutujat x vaadeldakse integreeerimisel konstandina. Integreerimise tulemuseks on mingisugune muutuja x funkt- sioon (x). Teiseks arvutatakse nn v¨aline integraal b (x)dx a ja tulemuseks on arv. Tavaliselt kasutatakse kaksikintegraali esitamiseks kirjaviisi b 2 (x)
annaabi.ee 
