Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks, selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0 x (a , b) Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust y( x0 ) = y0 Peano teoreem Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0) D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina. Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas f ( x, y ) olemas pidev osatuletis y . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina. Kasvamine ja kahanemine tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumatu muutuja(tavaliselt aeg) ja k võrdetegur.
29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34. Esimest järku harilikud diferentsiaalvõrrandid. Eraldatud ja eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandite mõisted, lahendamine. 35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine
nimetatakse võrrandi F (x;y;y')=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y'(x)) iga x (a,b) ning F (x; y (x); y'(x))=0 iga x(a,b) 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y'= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y'= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) D korral leidub konstandi C
kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb vähemalt üks diferentsiaalvõrrandi y’= f (x; y) integraalkõver. Lause (Cauchy teoteem) Olgu f (x; y ) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy (x; y ). Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y’ = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y’= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) ϵ D korral leidub konstandi C
Kui y=y(x) on teada, siis y'(x) = f(x, y(x)) iga xD korral ; y'(Xo)=f(Xo,y(Xo)) ; y'(Xo)=f(Xo,Yo) ; tan=y'(Xo)=f(Xo;Yo) 2.I järku DV lahend: DV lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse same samasuse sõltumatute muutujate suhtes. *Esimest järku DV üldlahendiks nim f-i: y(Xo)=Yo. Lahendi olemasolu ja ühesus: Cauchy teoreem: Olgu f(x;y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis f(x,y)/y. Siis läbi iga punkti (Xo;Yo)D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver (Cauchy ülesandel on parajasti üks lahend. Cauchy ülesande puhul võib esineda kolm võimalust: 1)ül polegi lahendit 2)ül on mitu lahendit 3)ül on parajasti üks lahend. Näiteks Cauchy ülesandel y'=-x/y, y(0)=0 lahend puudub. Cauchy ülesandel y'=3y 2/3 , y(Xo)=0 on mistahes algväärtuse Xo korral mitu lahendit, näiteks lahendid y=0 ja y=(x-Xo)3. Cauchy ülesandel y'=y; y(Xo)=Yo on suvaliste algväärtuste Xo ja Yo korral parajasti üks lahend y=Yoe(x-Xo)
pagi või puksiirtrossi tõmme jne. Dünaamilise ümbermineku momendi suhe dünaamilisse kreenivasse momenti pagi survest nn. ilmastiku kriteerium on eriti oluline suhteliselt väikestele laevadele. Registri nõudel peab dünaamiline ilmastiku kriteerium olema väiksem kui 1, s.t. tuule dünaamiline kreeniv moment peab olema väiksem dünaamilisest kaadumise momendist. Selle määramiseks tuleb kõige pealt koostada dünaamilise püstuvuse õlgade diagramm, mis tegelikult on integraalkõver staatilise püstuvuse diagrammist. Ordinaatide arvutus dünaamilise püstuvuse diagrammile toimub tabelis 3.2 algoritmi järgi: n -1 ( (GZ ) n ) d = 0,0873 (GZ ) n + 2 (GZ ) i 1= 0 Tabel 3.2 DÜNAAMILISE PÜSTUVUSE diagrammi ordinaatide arvutus
J(, , z) = Peano teoreem: Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja funktsiooni piirkonnas D C R2. Siis läbi iga punkti (x0, y0) C D kulgeb vähemalt Tavaliselt c [0, ), c [0, 2pi). üks diferentsiaalvõrrandi y' = f(x,y) integraalkõver. f(x,y,z)dxdydz = ' f(cos , sin, z) dddz Cauchy teoreem: Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis fy(x,y). Siis läbi iga punkti Sfäärkoordinaadid: (x0,y0) C D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f(x,y) integraalkõver.
osakeste puhul jääb tolm hõljuma ja satub hingamisel kopsudesse. Osakesed, mille läbimõõt on 0,1 m ja väiksem, alluvad korrapäratule Browni liikumisele.) Aerosooli ei iseloomusta kindel osakese suurus, vaid osakeste suuruse jaotus, mida esitatakse diferentsiaalse ja integraalse jaotuskõveraga: Diferentsiaalne kõver kujutab erineva suurusega osakeste jaotust %-des segus.(Enamasti on jaotus ebasümmeetriline, mida võib kujutada sümmeetrilise normaaljaotusena.) Integraalkõver saadakse fraktsioonide massiosade või massi (%) de summeerimisel. (Eeldatakse osakeste normaal-logaritmilist jaotust, mis on üheselt määratav osakese diameetriga, mille juures eraldatakse 50% osakesi (d50) ja jaotuse standarthälbega (0).) Puhastusmeetodeid on võimalik liigitada aerosooliosakesele mõjuva jõu alusel: viibimisaeg osakest mõjutava jõu väljas peab olema piisav, et teatud kiirusega liikudes jõuaks osake sadeneda ja liibuda pinnale ega läheks õhuga kaasa
osakeste puhul jääb tolm hõljuma ja satub hingamisel kopsudesse. Osakesed, mille läbimõõt on 0,1 μm ja väiksem, alluvad korrapäratule Browni liikumisele.) Aerosooli ei iseloomusta kindel osakese suurus, vaid osakeste suuruse jaotus, mida esitatakse diferentsiaalse ja integraalse jaotuskõveraga: Diferentsiaalne kõver kujutab erineva suurusega osakeste jaotust %-des segus.(Enamasti on jaotus ebasümmeetriline, mida võib kujutada sümmeetrilise normaaljaotusena.) Integraalkõver saadakse fraktsioonide massiosade või massi (%) de summeerimisel. (Eeldatakse osakeste normaal-logaritmilist jaotust, mis on üheselt määratav osakese diameetriga, mille juures eraldatakse 50% osakesi (d50) ja jaotuse standarthälbega (Σ0).) Puhastusmeetodeid on võimalik liigitada aerosooliosakesele mõjuva jõu alusel: viibimisaeg osakest mõjutava jõu väljas peab olema piisav, et teatud kiirusega liikudes jõuaks osake sadeneda ja liibuda pinnale ega läheks õhuga kaasa
kopsudesse. Osakesed, mille läbimõõt on 0,1 m ja väiksem, alluvad korrapäratule Browni liikumisele.) Aerosooli ei iseloomusta kindel osakese suurus, vaid osakeste suuruse jaotus, mida esitatakse diferentsiaalse ja integraalse jaotuskõveraga: - Diferentsiaalne kõver kujutab erineva suurusega osakeste jaotust %-des segus.(Enamasti on jaotus ebasümmeetriline, mida võib kujutada sümmeetrilise normaaljaotusena.) - Integraalkõver saadakse fraktsioonide massiosade või massi (%) de summeerimisel. (Eeldatakse osakeste normaal-logaritmilist jaotust, mis on üheselt määratav osakese diameetriga, mille juures eraldatakse 50% osakesi (d50) ja jaotuse standarthälbega (0).) Puhastusmeetodeid on võimalik liigitada aerosooliosakesele mõjuva jõu alusel: viibimisaeg osakest mõjutava jõu väljas peab olema piisav, et teatud kiirusega liikudes jõuaks osake sadeneda ja liibuda pinnale ega läheks õhuga kaasa
lähenduses kujutada sümmeetrilise normaaljaotusena. Näide Dkeskmine = (d1x1 + d2x2 + dnXn)/ X Kus d on fraktsiooni osakese keskmine diameeter, µm (mkm); x - vastava fraktsiooni mass kg(1), massiosa (2), või % segus (3) ja X vastavalt X = Xl + X2 + ... Xn (1); X = 1(2); või X =100% Dk = 10x0,05+20x0,15+30x0,5+40x0,25+50x0,05 = 31 µm Dkeskm. väärtus on sõltumatu valitud fraktsiooni väljendusviisist: massi-, massiosa või %. Integraalkõver saadakse fraktsioonide massiosade või massi (%) de summeerimisel. Eeldatakse osakeste normaal-logaritmilist jaotust, mis on üheselt määratav osakese diameetriga, mille juures eraldatakse 50% osakesi (d50) ja jaotuse standarthälbega (0). Puhastusmeetodite valik on lai, kuid neid on võimalik liigitada aerosooliosakesele mõjuva jõu alusel. Viibimisaeg osakest mõjutava jõu väljas peab olema piisav, et teatud kiirusega liikudes
kõvera – nn äravoolumahu integraalkõvera. Integraalkõveral on järgmised omadused: 1. iga ordinaat kujutab endast summeritud äravoolumahtu aja algmomendist kuni antud momendini 2. ordinaatide vahe integraalkõvera kahe punkti A ja B vahel võrdub antud punktidele vastava ajavahemiku Δ t äravoolu mahuga (lõik BC) 3. kui äravool on konstantne, siis integraalkõver on sirge W=Q*t 4. Sirgjoone tõusunurga tan α vastab keskmisele äravoolule ajavahemikul Δ t tanα = BC/AC= Δ W/ Δ t=Qkesk. 29. Veehoidla omaduste muutumine (mudastumine, eutrofeerumine, veekvaliteedi mõjutavad tegurid jt). Ülemine bjef: H >, h sügavused >, V kiirus <, Veepeegli pindala >; aurumine >, soolsuse suurenemine, maaala üleujutamine, kallaste uhtumine ... Alumine bjef: Q max <, Q min>, jõesängi erosioon hüdrosõlmest allpool
Siis läbi iga punkti (x0, y0) ϵ D lahendamise saab nüüd taandada Lagrange’i funktsiooni statsionaarsete punktide leidmisele. Nimelt kehtib kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f(x, y) integraalkõver. järgmine lause: Leidub λ R nii, et funktsiooni f(x, y) ekstreemumid lisatingimusel (x, y) = 0
annaabi.ee 
