Analüüs 2 Page 1 7. Statsionaarsete punktide leidmine > Osatuletiste leidmine + determinant > Tuleuse põhjal otsustamine 8. Leiame statsionaarsed punktid piirkonnas D > Leiame statsionaarsed punktid piirkonna D rajal > Arvutame funktsiooni väärtused leitud punktides (suurim = g.max / väikseim = g.min) 9. 10. Kasutatakse nt. veahinnangute juures 11. 12. 13. 1.Lineaarsus 2.Adiiivsus 3.Monotoonsus • Arvutatakse seest väljapoole • Välimisel integraalil arvud rajadeks 14. Ruumalasid; ruumiliste pindade pindalasid; keerukamate kujude masse; massikeskmeid 15. 16. 1.Lineaarsus 2.Adiiivsus 3.Monotoonsus Arvutatakse järjest 3 integraali seest väljapoole. Kõigepeal sisemise muutuja järgi ja ülejäänud on konstandid 17. Kasut. Ruumala leidmiseks 18. 19. Kasutatakse massi ja ruumala leidmiseks 20. 21
võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 2. 3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse
(asjaolud: plussmärgiga need koormused mille suund ühtib joonisel kujytatud suundadega, nad põhjustavad kõik talas negatiivseid paindemomente ja seega posit siirdeid; Arvestada ainult koormisi mis jäävad koordinaatide alguse ja selle punkti vahele; algparameetrid rajatigimustest; lauskoormus esitatakse koormuse algusest tala lõpuni ehk lauskoormuste summana) Siirete määramine Mohri integraaliga Suvalise varraskonstruktsiooni siirte arvutamise metoodika mis põhineb Mohri integraalil. Tarindi deformeerimiseks kulutatud tööd nimetatakse deformatsioonitööks. (Tähis W, ühik J) Tarindis laekub tehtud tööga võrdne deformatsioonienergia U. Clapeyroni teoreemdeformatsioonitöö võrdub jõu ja sellele vastava siirde poolkorrutisega. // W=F* Siire peab olema võimalik, sellisel juhul räägitakse jõu virtuaalsiirdest ja virtuaaltööst.(kui jõud sooritab tööd sellest jõust sõltumatul siirdel ja on ainult kujutletav) 1) Kaks võrdvastupidist jõudu W=F,
Mõnikord nimetatakse definitsioonis esinevat valemit ka Newton-Leibnizi valemiks ja räägi- takse Newton-Leibnizi integraalist. Vahe F (b) - F (a) märkimiseks kasutatakse sageli sümbolit b F (b) - F (a) = F (x) . a 4.2 Määratud integraali omadused Määratud integraalil on kõik määramata integraali omadused ja lisaks ka mõned spetsiifilised omadused. Põhilised neist võtab kokku järgmine lause. Lause 4.1 Kui funktsioonidel f ja g leiduvad algfunktsioonid F ja G lõigus [a, b], siis 1. määratud integraal funktsioonide summast võrdub liidetavate integraalide summaga b b b
D on piiratud pinnaga z f x, y , xy-tasandiga z 0 ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist) Ketib järgmine Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles piirkonnas. 1.3.1 Kahekordse integraali omadused. Kahekordsel integraalil on järgmised omadused 1. Aditiivsus. Kui D D 1 D 2 , siis f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxd D D1 D2 2. Lineaarsus. Kui funktsioonid z f x, y ja z g x, y on integreeruvad, siis ka funktsioon z af x, y bf x, y on integreeruv ja kehtib võrdus af x, y bg x, y dxdy a f x, y dxdy b g x, y dxdy.
Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. c. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34
a c Selline reegel kehtib punktide a, b ja c mistahes asendi korral, arvestades ka, et f(x)dx = - f(x)dx jne.... b C nt c b 1.4 MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTUSVÕTTED 1) Newton-Leibnizi valem MIS VAHE on määratud ja määramata integraalil? Määramata integraal on mingi algfunktsiooniga avaldis F(x) + C , mis võib omada tänu x-le mitmeid erinevaid väärtusi. Määratud integraal omab aga mingit konkreetset y väärtust mingil konkreetsel lõigul, see on mingil lõigul esinevate algfunktsioonide kõikide väärtuste summa, mingi konkreetne suurus, piiritletud suurus!!
Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon . Seega G-F=C , kus C on mingi konstant. Viimasest võrduses saame seose G=F +C , mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F+C. Jõudsime vastuolule. Teoreem tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F( x )+C , kus C on konstant, nim funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel
i =1 siis piirväärtust I nimetatakse funktsiooni f kolmekordseks integraaliks üle piirkonna E . Tähistus: fdV , f (P )dV , f (x, y, z )dxdydz E E E Piirkonna E ruumala arvutamine: n dxdydz = lim V (Ei ) = V (E ) , kus V (E ) on piirkonna E ruumala. ( f (x, y, z ) = 1 ) E 0 i =1 Kolmekordsel integraalil kehtivad aditiivsuse, lineaarsuse ja monotoonsuse omadused, mis on analoogsed kahekordse integraali vastavate omadustega. Omadus (keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas E , siis leidub punkt Q E nii, et f (P )dV = f (Q )V (E ) . E 2. Kolmekordse integraali arvutamine
annaabi.ee 
