Juhime siinkohal lugeja tähelepanu asjaolule, et erinevalt diferentseerimisest puuduvad üldised valemid funktsioonide korrutise ja jagatise integreerimiseks. Lähtuvalt konkreetsetest funktsiooni- dest tuleb korrutiste ja jagatiste integreerimisel kasutada mitmeid erivõtteid. Definitsioonist 3.2 saame järeldada järgmised integreerimist ja diferentseerimist seovad tulemu- sed. Lause 3.2 Kui F (x) = f (x), siis 1. tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga f (x)dx = (F (x) + C) = f (x); 2. diferentsiaal määramata integraalist on võrdne integraalialuse avaldisega d f (x)dx = (F (x) + C) dx = f (x)dx; 3. määramata integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga dF (x) = F (x)dx = f (x)dx = F (x) + C. 3.3 Määramata integraalide tabelid
funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka tähistatakse f(x)dx = F(x) + C Määramata integraali omadused: a. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette:cf(x)dx = cf(x)dx b. integraal funktsioonide summast/vahest võrdub liidetavate integraalide summaga/vahega (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx c. tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga [f(x)dx]' = f(x) d. diferentsiaal määramata integraalist on võrdne integraalialuse avaldisega: d[f(x)dx] = (F(x) + C)'dx = f(x)dx määramata integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx = F(x) + C 34. Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine). Muutujavahetus: f(g(x))dx =f(u)du = f[g(u)]g'(u)du
integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID
võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite taguspidi rakkendamisel. Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma integraalialuse funktsiooniga. Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine. Tuletise rakendused Lopitali valem Ligikaudne arvutamine Ritta arendamine Rolli ja lagrange teoteemid Funktsiooni uurimine Joone puutuja ja võrrand Numbriline arvutamine Kiirused ja kiirendused-füüsikalised rakendused Integraali arvutamine tabeli kaudu Mõne valemi tõestamine. Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . (5.2) Integraali (5
integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x )
Ositi integreerimise valem: b b b a u dv = uv a a - v du , kus u = u ( x ) ja v = v ( x ) on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid lõigul [ a ; b ] . 4.14 Määratud integraali rakendusi Kui joonestada integraalialuse funktsiooni y = f ( x ) graafik, siis f ( x ) 0 korral on b integraal f ( x ) dx arvuliselt võrdne joone f ( x ) , sirgete x = a a ja x = b ning x-teljega piiratud kujundi, nn. kõvertrapetsi pindalaga: b S = f ( x ) dx . a
Ositi integreerimise valem: b b b a u dv uv a a v du , kus u u x ja v v x on pidevalt diferentseeruvad funktsioonid lõigul a ; b . 4.14 Määratud integraali rakendusi Kui joonestada integraalialuse funktsiooni y f x graafik, siis f x 0 korral on b integraal f x dx arvuliselt võrdne joone f x , sirgete x a a ja x b ning x-teljega piiratud kujundi, nn. kõvertrapetsi pindalaga: b S f x dx .
annaabi.ee 
