inversioon A täiend A __ __ A A = A A = I konjunktsioon ühisosa u t idempotentsus: u disjunktsioon ühend A A = A A A = A t i t . . . ei oma loogikas vastavat tehet . . . lahutamine e. vahe n s
Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) Kommutatiivsus 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧𝐴 ;𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨𝐴 Idempotentsus 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ;𝐴 ∨𝐴 = 𝐴 Neeldumine 𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴 Distributiivsus 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶) = (𝐴 ∧ 𝐵) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶) ; 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) = (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶) Seadused konstantidega 𝐴 ∨ 0 = 𝐴 ; 𝐴 ∨ 1 = 1 ; 𝐴 ∧ 0 = 0 ; 𝐴 ∧ 1 = 𝐴 Topelteituse seadus 𝐴̿ = 𝐴 DeMorgani seadused ̅̅̅̅̅̅̅
x e omavahel võrdsed. i t xx = x t idempotentsus : x w x = x u Loogikaalgebra põhiseosed r v DeMorgani seadused : ( kahe muutuja jaoks ) Duaalsusprintsiibist tulenevalt kehtivad kõik loogikaalgebra põhiseosed A duaalsete paaridena
siis, kui f9=X1X2+ X1X2 X2-> sisendites on ühesugused väärtused Ülessanded paberite peal. 13. Loogikaseadused 1. Domineerimisseadus 1. (0*a*b*c...=0) 2. Domineerimisseadus 2. (1+a+b+c+...=1) 3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus. ( a*a=a a+a=a) 4. Eituse eitamise seadus. (a=a) 5. Komplemetaarsus- ehk täiendiseadus. (a*a=0; a+a=1) 6. Kommutatiivsusseadus. (a*b=b*a; a+b=b+a) 7. Assotsiatiivsusseadus. ( a*(b*c)=(a*b)*c=a*b*c; a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c ) 8. Distributiivseadus. a*(b+c)=a*b+a*c a+b*c=(a+b)*(a+c)) 9. De Morgani seadused. a*b=a+b a+b=a*b a*b*c*....*w=a+b+c+...+w a+b+c+....+w=a*b*c*...*w Üldistatud De morgani ehk Shannoni seadus f(a,b,c,
Üldiselt, kui hulgas on n elementi, siis hulgal on 2n alamhulka. Tühi hulk on iga hulga alamhulk (sealhulgas ka tühja hulga enda). Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused N Z Q R C. Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A
DNK, kus iga elementaarkonj. sisaldab F-ni kõiki muutujaid 𝑥𝑖. TKNK on KNK, kus iga elementaardisj. sisaldab F-ni kõiki muutujaid 𝑥𝑖. MDNK/MKNK on konkreetse F-ni väikseima keerukusega DNK/KNK. Keerukus 𝑳(𝒇) on tema koosseisus olevate algtermide arv. Loogikaalgebra põhiseosed Seosed konstantidega 0̅=1 1̅=0 0∗1=0 0∨1=1 𝑥∗0=0 𝑥∗1=𝑥 𝑥∗𝑥̅=0 𝑥∨0=𝑥 𝑥∨1=1 𝑥∨𝑥̅=1 Idempotentsus 𝑥∗𝑥=𝑥 𝑥∨𝑥=𝑥 DeMorgani seadused 𝑥∨𝑦̅̅=𝑥̅∧𝑦̅ 𝑥𝑦̅̅=𝑥̅∨𝑦̅ Neeldumine 𝑥∨𝑥𝑦=𝑥 𝑥∨𝑥̅𝑦=𝑥∨𝑦 Distributiivsus 𝑥(𝑦∨𝑧)=𝑥𝑦∨𝑥𝑧 𝑥∨(𝑦𝑧)=(𝑥∨𝑦)(𝑥∨𝑧) Kleepimine 𝑥=𝑥𝑦∨𝑥𝑦̅ 𝑥=(𝑥∨𝑦)(𝑥∨𝑦̅) Asendusseosed 𝑥→𝑦=𝑥̅∨𝑦 𝑥↔𝑦=(𝑥→𝑦)(𝑦→𝑥)=𝑥̅𝑦∨ ̅ 𝑥𝑦 𝑥⊕𝑦=𝑥̅𝑦∨𝑥𝑦̅
A ∨ A = 1 A ∨ B ∨ C = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Vastuolu seadus : kommutatiivsus: __ A ∧ B = B ∧ A A ∨ B = B ∨ A A ∧ A = 0 idempotentsus: Kontrapositsiooni seadus : A ∧ A = A A ∨ A = A __ __ A → B = B → A neeldumine: Süllogismi seadus : A ∧ (A ∨ B) = A
1. x+y=y+x x·y=y·x Kommutatiivsus 2. x+0=x x·1=x Identsus 3. x + (y · z) = (x + y) · (x + z) Distributiivsus x · (y + z) = (x · y)+ (x · z) 4. x + x =1 x x=0 Komplementaarsus 5. x+x=x x·x=x Idempotentsus 6. 1+x=1 0·x=0 Domineerimine 7. x + xy = x x(x+y)=x Absorbtsioon 8. x + (y + z) = (x + y) + z Assotsiatiivsus z · (y · z) = (x · y) · z 9. x + y = x y x y = x + y De Morgani teoreem 10. (x) = x Involutsioon
Märgime, et alati A B A ja A B B. Venni diagrammil on kahe hulga ühisosa kujutatud järgmiselt Näide: 1. Kui A = {a, b, c} ja B = {a, c, d, e}, siis A B = {a, c}; 2. [0, 1) (0, 1] = (0, 1); 3. = . Kui kahel hulgal A ja B ei ole ühiseid elemente, siis A B = ning hulki A ja B nimetatakse lõikumatuteks. Näiteks, ratsionaalarvude ja irratsionaalarvude hulgad on lõikumatud. Hulkade ühendi ja ühisosa omadused Teoreem Hulkade ühendil ja ühisosal on järgmised omadused: 1. Idempotentsus: A A = A, A A = A; 2. Kommutatiivsus: A B = B A, A B = B A; 3. Assotsiatiivsus: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 4. Distributiivsus: (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C). TÕESTUS 4. Tõestame teise distributiivsuse võrduse ehk (A B) C = (A C) (B C). (i) Olgu x (A B) C. Siis x A B või x C. Kui x C, siis x A C ja x B C, mistõttu x (A C) (B C). Kui aga x C, siis x A B ehk x A ja x B. Siis aga x A C ja x B C, s
1. Domineerimisseadus I. Suvalise muutujate hulga konjunktsioon on null (tühihulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub nulliga 0 ⋅ a ⋅ b ⋅ cL = 0. (1.10) 2. Domineerimisseadus II. Suvalise muutujate hulga disjunktsioon on üks (universaalhulk), kui kas või ainult üks muutujatest võrdub ühega 1 + a + b + c +L = 1. (1.11) 3. Idempotentsus- ehk samaväärsusseadus (kehtib ka kolme ja enama muutuja kohta). Argumendi loogiline korrutamine või liitmine iseendaga ei muuda tulemi väärtust a ⋅ a = a; a + a = a. (1.12) 4. Eituse eitamise seadus. Argumendi väärtus tema kahekordsel eitamisel ei muutu a = a. (1.13) 5. Komplementaarsus- ehk täiendiseadus
annaabi.ee 
