Soovitus: Ärge koonerdage sulgude kasutamisega! Näiteks kirjutage "xW ja $xW asemele ("x)W ja ($x)W „Ilusate“ sulgude kasutamisest Tuletame siinkohal meelde, et „ilusate“ sulgude ehk märkide { , } korral leppisime eespool kokku, et neid ei kasuta siis, kui kõneleme, et „valem sulgudes“ on samuti valem. Ehk siis – kui W on valemi tähis, siis on valemi tähiseks ka kirjutis (W) ning [W], kuid mitte kirjutis {W}. See aga ei tähenda, et „ilusad“ sulud hulgateoorias üldse keelatud oleks. Seda küll mitte. Kokkulepe 1. Kirjutisega {A, B, …, C} tähistame hulka, mille ainsateks elementideks on hulgad, tähistega A, B, …, C. Kokkulepe 2. Kirjutistega {m T(m) } või näiteks {n T(n) } või hoopis { T() } vms kirjutistega – tähistame hulka, mille elemendiks on iga selline hulk, näiteks tähisega , mis rahuldab kirjutisega T() esitatud tingimust. Näide. Kirjutis { ÎN & P } tähistab sellist hulka, mille iga element
arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]. Graafi tasandilisuse kriteeriumid. Kuratowski teoreem. [42]. Graafi tippude värvimise ülesanne. Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat: Naiivne hulgateooria- Naiivses hulgateoorias puudub kindel tugev aksiomaatika, ent ta on piisavalt efektiivne väga paljude lihtsamate vajaduste rahuldamiseks. Sageli õpetatakse matemaatikas esmalt naiivset hulgateooriat, kuna ta võimaldab inimesel paremini mõista hulga kontseptsiooni ning seda, miks aksioomid vajalikud on. Ka meie kasutasime kursuse raames naiivset hulgateooriat. Loojaks loetakse George Cantorit(19.saj.) Aksiomaatiline hulgateooria- Kuna on teada, et naiivne hulgateooria jookseb väga
võimsus. Teisest küljest aga, kuna M on kõigi hulkade hulk, peab M sisaldama elemendina iga oma alamhulka, seega ei saa M-i võimsus olla väiksem kui tema kõigi alamhulkade hulga võimsus (sest viimase kõik elemendid on ka M-i elemendid). Paradoksi põhjuseks on meie hüpotees, et eksisteerib abstraktne kõigi hulkade hulk M. Selgub, et matemaatikas võib piiranguteta abstraheerimine viia vastuoludeni. Paradokside avastamine hulgateoorias sundis matemaatikuid suhtuma kogu matemaatika-aparatuuri kriitiliselt ja suure ettevaatusega. Kriitika matemaatika aluste suhtes ja hulgateooria ise muutusid 20. sajandi loogika üheks peamiseks komponendiks ning tõukejõuks. 2.5 Loogika 20. sajandil 19. sajandil ei aktsepteeritud loogikat akadeemilistes ringkondades täisväärtusliku teadusena. Sajandilõpu edusammud kulmineerusid aga suurejooneliselt 1900. aasta augustikuus Pariisis ja"rjestikku peetud esimese rahvusvahelise
1.13 Hägusate süsteemide konstrueerimine.................. 33 Kasutatud kirjandus ................................................... 36 1.1 Hägusad hulgad 4 1. Hägusad süsteemid 1.1 Hägusad hulgad Hägusa hulga mõiste ja vastav teooria pärineb L.A. Zadeh'lt [1]. Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt: 1, if x A (1) µ A ( x) = . 0, if x A Reaalne elu pakub seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud
ei oska analüütilist mudelit koostada või on see väga töömahukas), mitteanalüütilised (hägusad hulgad/süsteemid, tehisnärvivõrgud, mudel≡programm). Hägus hulgateooria on klassikalise hulgateooria üldistus. 1965-Lofti Zadeh -> matemaatiline baas lingvistiliste teadmiste esitamiseks ja manipuleerimiseks (hägusate hulkade teooria, hägusloogika, ligikaudne arutlus). Hägus hulgateooria kujutab endast klassikalise hulgateooria laiendust, mis avaldub järgnevas: klassikalises hulgateoorias on element x kas hulga A (mis on omakorda kõiki võimalikke elemente koondava universaalhulga X alamhulk) liige või pole seda, muud võimalust ei ole. Elemendi x liikmesust hulka A saab seega esitada järgmiselt – kas x kuulub A-sse või mitte. Reaalne elu pakub seevastu näiteid, kus taoline üheselt määratud liikmesus pole hulgakuuluvuse kirjeldamiseks piisavalt paindlik, kuna sellest tuleneb järsk piir kuuluvuse ja mittekuuluvuse vahel. Tüüpiline näide
] [5] Deduktiivse süstematiseerimise ideaalil on kolm aspekti või nõuet: 1) aksioomid on ilmselged tõed (väga lihtsad ja iseenesestmõistetavad); 2) aksioomid ja teoreemid on omavahel deduktiivselt seotud peab olema määratletud lubatavate tuletusreeglite hulk; 3) teoreemid on kooskõlas vaatlustega. (Teoreemide tõestamiseks tuleb aksioomidele lisada defineerimatud algmõisted ehk primitiivsed terminid [hulk hulgateoorias], nende kaudu defineeritavad mõisted ning tuletusreeglid.) Teadusfilosoofid on eriseisukohtadel 2) ja 3) suhtes, kuid on üksmeelsed 1) suhtes. Eukleidese kümnest aksioomist mõned: *. Kõik täisnurgad on võrdsed. *. Mistahes kaks punkti asuvad sirgjoonel. *. Tervik on suurem kui osa. *. Kui võrdsetele lisatakse võrdsed, saadakse võrdsed. 5. paralleelide aksioom: väljaspool sirget asuvat punkti saab läbida ainult üks sirge, mis
Tähistame a 6 b, kui kehtib üks tingimustest a < b ja a = b. Elemente a > 0 nimetame mittenegatiivseteks ja elemente a 6 0 mittepositiivseteks. Kui hulgas X ⊆ F leidub selline element a, et x 6 a iga x ∈ X korral, siis ütleme, et a on hulga X suurim element ja tähistame max X ehk max {x | x ∈ X}, samamoodi defineeritakse vähim element min X ehk min {x | x ∈ X}. Suurimat elementi nimetatakse ka maksimaalseks ja vähimat elementi minimaalseks. Märkus 1. Hulgateoorias nõutakse lineaarse järjestuse seoselt sageli, et ta oleks refleksiivne, antisüm- meetriline, transitiivne ning kõik elemendid oleks omavahel võrreldavad. Vahetu kontroll näitab, et 4 on selline seos parajasti siis, kui < on seos, mis rahuldab aksioome (O1)–(O2), kus a 4 b ⇔ a < b ∨ a = b. Märkus 2. Kui järjestus 4 hulgas A pole lineaarne, st. kui leiduvad elemendid, mis pole omavahel võrreldavad, siis on suurima ja maksimaalse elemendi mõisted erinevad
annaabi.ee 
