....................................... 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10
....................................... 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus............................................ 6 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10
GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused · Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus · Samatoodangujooned · Tehnilise asenduse piirmäär
126 5.6.2 Tõkestamata funktsiooni päratu integraal . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.7 Wallise valem ja Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.1 Wallise valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.7.2 Euler–Poissoni integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6 Funktsionaaljadad. Arv- ja funktsionaalread 133 6.1 Funktsionaaljadad, nende punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . 133 6.1.1 Funktsionaaljada punktiviisi koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.2 Funktsionaaljada ühtlane koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.1.3 Funktsionaaljadad, mille liikmed on pidevad funktsioonid .
Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Arvrida k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida k| koondub. Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0)
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (P E x + Q y + R z )dxdydz . kus pindintegraal on võetud üle pinna väliskülje. 24 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §6. FUNKTSIONAALREAD 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) .
Fourier' koosinusrida: Suvaline funktsioon f(x), mis on lõigul [0, l] integreeruva ruuduga, on sel lõigul ( lim 𝑘 = 𝛾 ≠ 0) ⇔ (∀𝜀 > 0∃𝑘0 = 𝑘0 (𝜀): | 𝑘 − 𝛾| < 𝜀(𝑘 ≥ 𝑘0 ). Võime piirduda juhuga k0=1. Et | 𝑘 − 𝛾| < 𝜀 ⇔ −𝜀 < 𝑘 − 𝛾 < 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane ∫−𝑙 √𝑙 𝑙
Definitsioon. Koonduvat rida, mis absoluutselt ei koondu, nimetatakse tingimisi koonduvaks reaks. Eeltoodut arvesse v~ottes saame ¨oelda, et eelmise punkti n¨aites vaadeldud rida on tingimisi koonduv rida. Kui positiivsete liikmetega rea koonduvus ehk muutuvate m¨arkidega rea absoluutne koonduvus leiab aset liikmete piisavalt kiire kahanemise t~ottu, siis tingimisi koonduvus leiab aset selle t~ottu, et rea erinevate m¨arkidega liikmed koondavad u ¨ksteist. 8.6 Funktsionaalread Funktsionaalreaks nimetatakse rida, mille liikmed on funktsioonid, st rida uk (x) (8.11) k=1 Kui fikseerida argumendi x v¨a¨artus x0 , omandavad funktsioonid uk(x) kindlad arvulised v¨a¨artused uk (x0 ), st v¨a¨artuse x0 korral saame reast (8.11) arvrea. N¨aide. Vaatleme funktsionaalrida
annaabi.ee 
