a. Funktsioonid, millele ei sa leida ekstremaalseid väärtusi: f(x)= x ja f(x)= x b. Punkti, kus funktsiooni tuletis on 0, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Punkte, kus f´(a)=0 või kus f´(a) ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni f(x) kriitilisteks punktideks. c. Fermat´teoreem: Kui funktsioonil f on maksimum või miinimum punktis a ja kui f´(a) eksisteerib, siis f´(a)=0. d. Funktisoonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbruses(a- δ , e. a+ δ ), kus f(x) ≤ f(a). f. Funktisoonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbruses(a- δ , g. a+ δ ), kus f(x) ≥ f(a). 22. Joon y=f(x) on piirkonnas X kumer, kui selle piirkonna igas punktis on joon allpool oma puutujaid
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne miinimum, kui: 1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e) 2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)>F (P1). · Funktsiooni z =(P) statsionaarseks punktiks nim punkti P, kus kohtivad võrdlused 'x1(P)= 'x2(P)= 'x3(P)= ... ='xm(P)= 0 (ehk grad (P)=0 ) · Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Ol gu funktisoonil z= (P) punktis P1 lokaalne ekstreenmum ja eksisteerigu osatuletised 'x1(P1), 'x2(P1), ... ,'xm(P1) siis 'x1(P)= 'x2(P)= ... ='xm(P)= 0 on funktsiooni statsionaarne punkt . 26) Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused Olgu P1 funktsiooni (x, y) statsionaarne punkt, st '(X;Y) x(P1) = ', y (P1) = 0. Tähistame: A = ''xx(P1) '' xy(P1) '' yx(P1) '' yy(P1) = ''xx(P1) ''yy(P1) -[''xy(P1)]2
Öeldakse et funktsioonil on punktis P1 lokaalne miinimum, kui: 1) funktsioon on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e) 2) iga PU(P1,e), P P1 korral kehtib võrdus (P)>F (P1). · Funktsiooni z =(P) statsionaarseks punktiks nim punkti P, kus kohtivad võrdlused 'x1(P)= 'x2(P)= 'x3(P)= ... ='xm(P)= 0 (ehk grad (P)=0 ) · Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Ol gu funktisoonil z= (P) punktis P1 lokaalne ekstreenmum ja eksisteerigu osatuletised 'x1(P1), 'x2(P1), ... ,'xm(P1) siis 'x1(P)= 'x2(P)= ... ='xm(P)= 0 on funktsiooni statsionaarne punkt . 26) Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused Olgu P1 funktsiooni (x, y) statsionaarne punkt, st '(X;Y) x(P1) = ', y (P1) = 0. Tähistame: A = ''xx(P1) '' xy(P1) '' yx(P1) '' yy(P1) = ''xx(P1) ''yy(P1) -[''xy(P1)]2
ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolset pidevust parempoolses otspunktis b. Elementaarfunktsioonide pidevus. Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonna punktides pidevad. Seda võib näha nende funktsioonide graafikutelt (joonised 1.2, 1.4 - 1.15). Määramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei tähenda muidugi, et põhilistel elementaarfunktsioonidel ei oleks katkevuspunkte. Näiteks funktisoonil y = tan x on katkevuspunktid x = /2+k, k Z, kuid need punktid asuvad v.aljaspool selle funktsiooni määramispiirkonda, so tan (/2 + k), k Z, ei ole määratud. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad
silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ning juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdne nende 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ punktist P0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2
Korrutis f ()(x - x0 ) < 0, seega f (x) < f (x0 ). Fikseerime x0 vasakpoolses u ¨mbruses punkti x (x0 -; x0 ). L~oigul [x; x0 ] on t¨aidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. J¨arelikult leidub selline (x; x0 ), et f (x0 ) - f (x) = f ()(x0 - x). Eelduse kohaselt f () > 0 ja x valiku t~ottu x0 - x > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x0 ) > f (x). Iga fikseeritud x (x0 - ; x0 + ) korral on t¨aidetud tingimus f (x) < f (x0 ), st funktisoonil on kriitilises punktis x0 lokaalne maksimum. 3. v¨aite t~oestus. Fikseerime x0 parempoolses u ¨mbruses punkti x (x0 ; x0 + ). L~oigul [x0 ; x] on t¨aidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Seega leidub sel- line (x0 ; x), et f (x) - f (x0 ) = f ()(x - x0 ). Eelduse kohaselt f () > 0 ja x valiku t~ottu x - x0 > 0. Korrutis f ()(x - x0 ) > 0, seega f (x) > f (x0 ). Fikseerime x0 vasakpoolses u ¨mbruses punkti x (x0 -; x0 ). L~oigul [x; x0 ]
( lim- f (x) = f (2) = 3). Tulemusena on selle funktsiooni graafik pidev joon x2 terve l~oigu [1, 2] kohal. Elementaarfunktsioonide pidevus. P~ohilised elementaarfunktsioonid on k~oigis oma m¨a¨aramispiirkonna punktides pidevad. Seda v~oib n¨aha nende funkt- sioonide graafikutelt (joonised 1.2, 1.4 - 1.15). M¨a¨aramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei t¨ahenda muidugi, et p~ohilistel elementaarfunkt- sioonidel ei oleks katkevuspunkte. N¨aiteks funktisoonil y = tan x on katkevus- punktid x = 2 +k, k Z, kuid ( need) punktid asuvad v¨aljaspool selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda, so tan 2 + k , k Z, ei ole m¨a¨aratud. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus s¨ailib, siis on ka k~ oik elementaarfunktsioonid oma m¨ aa ¨ramispiirkonnas pidevad
( lim- f (x) = f (2) = 3). Tulemusena on selle funktsiooni graafik pidev joon x2 terve l~oigu [1, 2] kohal. Elementaarfunktsioonide pidevus. P~ohilised elementaarfunktsioonid on k~oigis oma m¨a¨aramispiirkonna punktides pidevad. Seda v~oib n¨aha nende funkt- sioonide graafikutelt (joonised 1.2, 1.4 - 1.15). M¨a¨aramispiirkondade kohal on graafikud pidevad jooned. See ei t¨ahenda muidugi, et p~ohilistel elementaarfunkt- sioonidel ei oleks katkevuspunkte. N¨aiteks funktisoonil y = tan x on katkevus- punktid x = 2 +k, k Z, kuid need punktid asuvad v¨aljaspool selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda, so tan 2 + k , k Z, ei ole m¨a¨aratud. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud p~ohilistest elementaarfunktsioonidest l~opliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus s¨ailib, siis on ka k~ oik elementaarfunktsioonid oma m¨ aa ¨ramispiirkonnas pidevad
annaabi.ee 
