(viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse lineaarvõrrandisösteemi lahendiks, kui nende arvude asendamisel tema võrranditesse tundamatute asemel saame samasused. LVS-i erilahend Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame vabad tundatud mingite arvudega, siis saame erilahendid. LVS-i elementaarteisendused Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse 1. tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2. tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt üks lahend. Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid.
veeru asendamisel lvs-i vabaliikmete veeruga. LVS lahendamiseks kasutatakse põhiliselt meetodit, kus olemasolev lvs asendatakse uue lihtsama lvsiga, millel on sama lahendihulk. Def. Öeldakse, et kaks lvs-i on ekvivalentsed, kui neil on samad lahendihulgad. Eesmärgiks on saada selline lvs, kust lahend oleks kohe välja loetav. Uus lvs saadakse tundmatute järk-järgulise süstemaatilise elimineerimise teel. Selleks kasutatakse kolme liiki teisendusi, mida nim lvs elementaarteisendusteks: 1)süsteemi mistahes võrrandit korrutada nullist erineva arvuga 2)vahetada süsteemi kaks võrrandit omavahel 3)süsteemi mistahes võrrandile liita juurde mingi arv kordne teine võrrand samast süsteemist. Teo.51. lvsi elementaarteisendused ei muda lvsi lahendihulka. Märkus: Võrrsüs laiendatud maatriksi väljakirjutamisel peavad igas võrrandis esinema tundmatud samas järjekorras ja vabaliikmed peavad olema paremal
.., kr et kehtiks Ak = k1 Ak1 + k2 Ak2 + ... + kr Akr 2) siis leidub maatriksil A r rida millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik maatriksi read e. leduvad read sellised Ak1 , Ak 2 ,..., Ak r et iga rea Ak jaoks leiduvad arvud k1 , k2 ,..., kr et kehtiks Ak = k1 Ak1 + k 2 Ak 2 + ... + k r Ak r Tuleb välja, et maatriksi nn. elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. Definitsioon. Maatriksi ridade (veerude) elementaarteisendusteks nimetakse üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil: 1. maatriksi mistahes rea (veeru) korrutamine arvuga. 2. mistahes reale (veerule) arvkordse teise rea (veeru) liitmine (lahutamine). Lause 2. Kui maatriks B saadakse maatriksist A elemntaarteisenduste abil, siis nende astakud on võrdsed e. Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada nn. treppmaatriksiks. Definitsioon
2 AB T = 2 = 2 = - 3 0 -1 - 2 - 3 3 + 0 ( -1) - 3 (-4) + 0 (-2) 1 - 8 2 - 16 = 2 = . - 9 12 - 18 24 - 5 2 2 - 16 - 7 18 - = . A 2AB = 2 T - 3 - 6 - 18 24 15 - 30 1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 8. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 9. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 10. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B . Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali
2 AB T = 2 = 2 = - 3 0 -1 - 2 - 3 3 + 0 (-1) - 3 ( -4) + 0 (-2) 1 - 8 2 - 16 = 2 = . - 9 12 - 18 24 - 5 2 2 -16 - 7 18 A2 2ABT= - = . - 3 - 6 -18 24 15 - 30 1.3. Maatriksite elementaarteisendused Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad: 1. maatriksi kahe rea ümberpaigutamine; 2. suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga); 3. suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse: A ~ B . Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on
C · B -1 · A-1 = I ehk C -1 = B -1 · A-1 . Viimast oligi vaja näidata. Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis saab selle leida Gauss'i- Jordan'i meetodiga, teisendades maatriksi A ühikmaatriksiks I ja ühik- maatriksi pöördmaatriksiks A-1 . (A I) (I A-1 ). Ridade elementaarteisendused. Definitsioon 2.4 Maatriksi A ridade elementaarteisendusteks nimetatakse ülemi- nekut maatriksilt A maatriksile B järgmiste reeglite abil: 1. Maatriksi kahte rida võib omavahel vahetada. 2. Maatriksi rea kõiki elemente võib korrutada nullist erineva arvu- ga. 3. Maatriksi reale võib liita mingi arvuga korrutatud teise rea. 2.2 Maatriksvõrrandite lahendamisest Kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 , siis saaksime võrdust A · X = F korrutada (vasakult) pöördmaatriksiga A-1 :
annaabi.ee 
