Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ... (n - k +1) = = C nk + Pk (n - k )! n! C nk = k! ( n -k )! (a + b) n = C n0 a n + C n1 a n -1b + C n2 a n -2 b 2 + ..
on permutasioonide leidmiseks n objekti kohta, kus ni on sarnased objektid. Meie ülesandes Vastus. Nimekirja saab moodustada 12600 erineval viisil. 2.2 Kombinatsioonid. Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt, et elementide valimise järjekord pole tähtis.) Erinevaid valikuid etteantud elementidest nimetatakse kombinatsioonideks. Kõikvõimalike k elemendiliste kombinatsioonide arv m elemendi hulgast määratakse valemiga Näide 3. Mikrobussi salongis on 6 istekohta. Bussi siseneb kaks reisijat. Mitmel erineval viisil võib hõivatud istmeid valida? Lahendus
a1 millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿ nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi j-elemendiliste osahulkade elementide n! v kn =n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗( n−k +1 )= erinevaid järjestusi. ( n−k ) ! 69) kombinatsioonid ja arvutamine. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa k n! (k ≤ n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki Cn =
n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x rohkem kui kombinatsioone. 4. Kombinatsioonid. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse n-elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Vnk =Cnk Pk . Cnk =n! / k! (n-k)! 5. Newtoni binoomvale Nt: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Püramiid :
P(A + B + C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) P(BC) + P(ABC). 7. Tõenäosuste korrutamine 2 ja 3 sündmuse korral. kahe sündmuse korral avaldub: P(AB) = P(A) P(B|A). Kolme sündmuse korral: P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB). 8. Kombinatsioonid, variatsioonid, nende kasutamine arvutustes. Katses osaleb m elementi, katse tulemuseks on k erineva elemendi välja valimine nende elementide hulgast. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on kõikvõimalike k elemendiliste valikute arv m elemendi hulgast. (NB! valimine toimub selliselt, et elementide valimise järjekord pole tähtis.) Erinevaid valikuid etteantud elementidest nimetatakse kombinatsioonideks. Erinevaid valikuid etteantud objektidest nimetatakse variatsioonideks. (NB! valimine toimub selliselt, et objektide valimise järjekord ON tähtis.) 9. Täistõenäosus. Olgu sündmused H1, H2, ..., Hk üksteist välistavad, nad omavad positiivset tõenäosust P(H1), P(H2), ..., P(Hk)
erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised
erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 12 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised
annaabi.ee 
