vahemiku kõigis ülejäänud punktides. Ehk teisiti, funktsioonil f ( x ) on punktis x = x1 maksimum, kui f ( x1 + x ) < f ( x1 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni miinimumi definitsioon. Funktsioonil f ( x ) on punktis x = x 2 miinimum, kui f ( x 2 + x ) > f ( x 2 ) iga küllalt väikese absoluutväärtusega (positiivse või negatiivse) x puhul. Funktsiooni maksimume ja miinimume nimetatakse tema ekstreemumiteks ehk ekstremaalseteks väärtusteks. (ekstreemumi olemasolu tarvilik tingimus). Kui diferentseeruval funktsioonil y = f ( x ) on punktis x = x1 maksimum või miinimum, siis tema tuletis selles punktis on null, s.t. f ( x1 ) = 0 . Argumendi väärtusi, mille puhul funktsiooni tuletis on null või katkev, nimetatakse kriitilisteks punktideks ehk kriitilisteks väärtusteks. 9. Funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud lõigul. Olgu funktsioon y = f ( x ) lõigul [ a, b] pidev
määramispiirkonna sisepunktides) Hulga X - R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse supX. Hulga X - R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse infX. Pidevuse aksioom: igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine rada ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine rada. Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks väärtusteks sellel hulgal. (Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalseteväärtuste vahel.) Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nim selle joone asümptoodiks. Vertikaalasümpt: x=a, kaldasümpt: y=kx+b
c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X. Hulga =/= X c R suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse inf X. Näide: Vahemik on X=(0;1), Inf x = 0 ja sup x = 1. *Pidevuse aksioom- Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. *Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nim. funktsiooni ekstremaalseteks väärtusteks sellel hulgal. *Weierstrassi teoreem lõigus pidev funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest: Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. *Bolanzo Cauchy teoreem vahepealsetest väärtustest: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. 24*(Ühtlane ja Lipschitzi pidevus)Funktsiooni f(x) nimetatakse ühtlaselt pidevaks hulgal X c R, kui
( x ) : ( x )( x a) Näide: Vahemik on X=(0;1), Inf x = 0 ja sup x = 1. *Pidevuse aksioom- Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja ( x) igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. lim x a 0 *Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nim. funktsiooni ekstremaalseteks xa väärtusteks sellel hulgal. *Weierstrassi teoreem lõigus pidev funktsiooni ekstremaalsetest väärtustest: Lõigul ( x) ( x )( x a ) pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. lim x a lim x a 0
Kehtib "pidevuse aksioomiks" nimetatav v¨aide. Lause 2 (vt [5], lk 1618). Igal u ¨lalt t~okestatud reaalarvude hulgal on olemas u ¨lemine raja ja igal alt t~ okestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Definitsioon 3. Funktsiooni maksimaalset ja minimaalset v¨a¨artust hulgal nimeta- takse u ¨he nimega ekstremaalseteks v¨ a¨ artusteks sel hulgal. Lause 3. L~ oigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed v¨a¨artused sellel l~oigul. oestus. Olgu f (x) C[a, b]. Lause 1 p~ohjal on funktsioon f (x) t~okestatud sel T~ l~oigul, st funktsiooni v¨ artuste hulk {f (x)}x[a,b] on t~okestatud. Lause 2 p~ohjal on a¨ olemas u ¨lemine raja M = sup f (x).
~ alt tokestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 22 / 1 ~ Loigul pidevate funktsioonide omadusi Definitsioon ¨ Funktsiooni suurimat ja vahimat va¨ artust ¨ hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks va¨ artusteks ¨ sellel hulgal. ~ Lause (Weierstrassi teoreem loigus pideva funktsiooni ekstremaalsetest va¨ artustest) ¨ ~ Loigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed va¨ artused ¨ sellel ~ loigul, ~ st loigus [a, b] leiduvad punktid [a, b] ja [a, b], nii et
annaabi.ee 
