2.8 Juhusliku suuruse asümmeetriategur ja ekstsess Asümmeetriategur: E ( X EX ) 3 ASX= 3(X ) . Kui asümmetriategur on 0, siis juhuslik suurus on jaotatud sümmeetriliselt keskväärtuse ümber. E ( X EX ) 4 Ekstsess: ExX = 4(X ) . Negatiivse ekstsessi korral on jaotustiheduse graafik lamedam ja positiivse ekstsessi korral järsema ekstreemumiga. Ülesanded 1. Üliöpilased õpivad üheksat erinevat ainet. 2. septembril on ettenähtud 4 loengut. Mitu erinevat võimalust on tunniplaani koostamiseks, kui sel päeval peab olema 4 erinevat õppeainet? Vastus: 3024 2. Mitmel viisil on võimalik valmistada kolmevärvilist kolmest horisontaalvöödist koosnevat lippu. Kui üks vööt peab olema sinine ja kasutada on 5 erinevat kangast. Vastus: 36 3. Lapsel nimega KATRIN on käes 27 ladina tähestiku tähte.
Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses
punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte. Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat.
ekstreemumpunktid. Ekstremp-is peab fun-i diferentsiaali märk muutuma.et kriitilises p-is Xo eksisteriks fun-i maksimum, peab fun.sellest p-st vasakul olema kasvav ja paremalkahanev.teist j. Ehk piisava ting täidetuse kontrol.sex koostatakse fun-i kõigist erinevatest teise järgu osatuletistes hessiaan ning leitakse hessiaani peamiinorid. N-dat järku tuletise reegel: kui n on paaritu arv, on tegu käänup-ga. Kui n on paarisarv, on tegu ekstreemumiga. Kas ekstreemumi korral on tegu max-iga või min-iga, määratakse analoogiliselt teist järku tingimusega. Kogutulufun-leitakse tarbijate poolt makstava hinna ja müüdava koguse korrutisena. Kitsendustega optim-l on fun.MP kitsendatud: fun maksimaalset või minimaalset väärtust ja seda tagavaid argumentide väärtusi otsitakse mingi kindla hulga argumentide väärtuste ja fun väärtuste komplektide hulgast. Fun mille ekstreemumi leitakse nim. Sihifunktsiooniks. Opt
(5.8)), siis liitfunktsioon φ ◦ f on lause 4.3 põhjal pidev punktis a, seega (5.10) Seostest (5.9) ja (5.10) saame, et Lause on tõestatud Teada pöördfunktsiooni diferentseerimise reeglit: Olgu pidev rangelt monotoonne funktsioon f : D → R punktis a diferentseeruv. Pöördfunktsioon f−1 : D′ → R on kohal b := f (a) diferentseeruv parajasti siis, kui f′ (a) ̸= 0. Sel juhul 25. Fermat’ teoreem funktsiooni tuletise seosest lokaalse ekstreemumiga (*) Defineerida intervallis määratud funktsiooni lokaalse maksimumi ja lokaalse miinimumi mõiste: Olgu funktsioon f määratud intervallis D ja olgu a intervalli D sisepunkt, s.t. a ∈ Do. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≤ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum. Kui punktil a on selline ümbrus Uδ (a), et f (x) ≥ f (a) iga x ∈ Uδ (a) korral, siis öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne miinimum.
5 -1, x < 0 f2 (x) = sgn x = 0, x = 0 1.0 0.5 0.5 1.0 1, x > 0 0.5 ¨ Eelneva teoreemi eeldused on taidetud. ¨ Kuna f muudab marki on tegemist lo- kaalse ekstreemumiga. 1.0 1.0 f2 (x) = |x| + 2x, 0.5 1, x < 0 f2 (x) = sgn x + 2 = 2, x = 0 1.0 0.5 0.5 1.0 3, x > 0
annaabi.ee 
