avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m -1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m =1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid a1 , a2 ,..., am lineaarselt sõltuvateks. Vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk kollineaarsed, kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 6. Vektorruumi baasi definitsioon. Loomulik ehk kanooniline baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Baasivektorid. Vektori koordinaadid. Mittetühja hulka B, kus B V, nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1. vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk ja 2. iga vektor vektorruumist V avaldub lineaarse kombinatsioonina hulka B kuuluvatest vektoritest. Tavaliselt valitakse vektorruumi paljude baaside hulgast välja üks baas B, mis enamasti tekib loomulikul viisil. Sellist kokkuleppeliselt välja valitud baasi nimetatakse vaadeldava vektorruumi loomulikuks ehk kanooniliseks baasiks
Viimastest aksioomidest saab teha järeldused: Järeldus*1 0 a = 0 Järeldus*2 ( - a ) = ( -1) a Järeldus*3 0 = 0 Järeldus*4 [ - ( - a )] = a Aksioom leiduvad vektorid e1 ; e2 ; e3, nii et mistahes vektor x on esitatav kujul: x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3; seejuures võrdus x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 kehtib ainult siis kui x1 = x2 = x3. Viimane aksioom defineerib vektorite hulgas niinimetatud baase ja nõuab, et baasivektorid oleksid lineaarselt sõltumatud. Def1 Olgu rahuldatud 1 4, 1* - 5* ja nõuded. Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud esitatud kümme aksioomi nõuded nimetatakse kolmemõõtmeliseks Afiinseks ruumiks. Tasandi võrrandid. 1. Tasand läbib punkte A(2; -1; 5) B(3; 0; 7) C(6; -4; 12). Kirjutada tasandivõrrand. Toome sisse muutuva punkti P(x; y; z). AB = (1; 1; 2) AC = (4; -3; 7)
ridade/veergude hulk on lineaarselt 8. x1'=x2'=x3'=0' (nõuab, et baasivektorid sõltuv. oleksid lineaarselt sõltumatud.) Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada a*=e Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit,
c)iga kolme punkti A, B, CP korral kehtib võrdus AB + BC= AC kordinaadid- Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper,kaugus,omadused. A=(V,P)-vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist) A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on AB vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused-A,B,C A=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C)+Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 19) Kahe vektori vektorkorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. Vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor c = a × b
ortogonaalses vektorsüsteemis on kõik vektorid normeeritud-nad on vastavad ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem. 24. Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper,kaugus,omadused. A=(V,P)-vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist) A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused- A,B,CA=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C) +Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 25. Sirge afiinses ruumis.sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Iga kahe erineva punkti p.A ja p.B korral afiinses ruumis leidub parajasti üks sirge u, millel asuvad need punktids.o. (Au, Bu). Sirgeks läbi p.A ja sihivektoriga nim. kõigi
avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m - 1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m = 1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid 1 , 2 , ... , m lineaarselt sõltuvateks. Def. 4. Öeldakse, et vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk kollineaarsed, kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 6. Vektorruumi baasi definitsioon. Loomulik ehk kanooniline baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Baasivektorid. Vektori koordinaadid. Def. Mittetühja hulka B, kus B V , nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1° vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk, 2° iga vektor vektorruumist V avaldub lineaarse kombinatsioonina hulka B kuuluvatest vektoritest, s.t. leiduvad sellised vektorid 1 , 2 , ... , n B ja arvud x1 , x2 , ... , xn , et = x11 + x2 2 + ... + xn n .
punktide vahelise kauguse leidmise reeglid ortonormaalse reeperi korral. 1, ..., n olgu V baas; öeldakse, et see baas on ortogonaalne, kui ij i,j korral. Ortonormaalne, kui ta on ortogonaalne ja ||i|| = 1 i korral Kui ortogonaalses vektorite süsteemis i, ..., m kõik vektorid on normeeritud, siis öeldakse, et 1, ..., m on ortonormeeritud vektorite süsteem. Eukleidilise vektorruumi baasi nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks, kui baasivektorid moodustavad ortonormeeritud vektorite süsteemi. Ortonormaalne reeper: i*j = 0, kui ij ja 1, kui i=j. Eukleidilise ruumi reeperit R = (O; B), milles B = {1; ...; n} on vektorruumi V ortonormaalne baas, nimetatakse ortonormaalseks reeperiks ehk teljestikuks. = (a1; ...; an) = a11 + ... + ann = aii; = (b1; ...; bn) = b11 + ... + bnn = bjj. * = (aii) * (bjj) = (... + aii + ...) * (... + bjj + ...) = (aibj)(ij) => skalaarkorrutis on määratud, kui on teada baasivektorite skalaarkorrutised i*j
annaabi.ee 
