Tõestuseks tuleb näidata, et rea ∑∞ 𝑘=1 ∫𝑎 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 osasummade jada koondub väärtuseks ∫𝑎 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 , st et ∫𝑎 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 lim ∑𝑛𝑘=1 ∫𝑎 𝑢𝑘 (𝑥)𝑑𝑥 19. Näidata, et funkstiooni astmeritta arendus on ühene. 𝑛→∞ ∞
Teoreem (Abeli lemma). Kui astmerida (1) koondub koonduvusvahemiku (- R; R ) parem- poolses otspunktis R , siis selle astmerea summa S (x ) on vasakult pidev punktis R , st. S (R - ) = S ( R ) . Samasugune lemma kehtib ka koonduvusvahemiku vasakpoolse otspunkti - R kohta. 27 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 3. Funktsioonide arendamine astmeritta Def. Kui iga x (a - R; a + R ) = X korral kehtib võrdus f ( x ) = a n ( x - a ) , siis öeldakse, et n n =0 funktsioon f on vahemikus X arendatud astmereaks ehk on esitatud astmereana.
n=0 Astmerea Astmerea koonduvusvahemikuks nimetatakse vahemikku (a-R, a+R), kus koonduvusraadius suurus R on koonduvusraadius Astmerea Astmerea koonduvuspiirkonnaks nimetatakse hulka X={x R: rida koonduvuspiirkond a ( n ) ( x-c )n koondub} n=0 Funktsiooni Olgu funktsioon f(x) määratud punkti c R mingis ümbruses. Öeldakse, et arendamine funktsioon f(x) on arendatav astmeritta punktis c, kui leidub astmerida, mis astmereaks punkti c mingis ümbruses on võrdne funktsiooniga f(x)= a ( n ) ( x-c )n n=0 Talory rida Funktsiooni f(x) Taylori reaks nimetatakse astmerida, mille kordajad avalduvad 1
i Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida i = 0 , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid. 6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide! Koonduvusraadius on raadius, kus rida koondub. Koonduvusvahemik on vahemik, kus rida koondub. Rea koonduvusraadius on 2, rida koondub vahemikus , kuid Kui ja , siis on rida hajuv 7. Kuidas arendada funktsioone astmeritta Mathcadi keskkonnas? Esitada näide! Symbolics --- Variable --- Expand to series või käsuga "series" Symbolic palettilt Näide: 8. Defineerige funktsiooni piirväärtus? Illustreerige seda konkreetse näite baasil tehtud animatsiooniga. F-ni piirväärtus on väärtus, millele muutuja väärtused mingis piirprotsessis tulevad kui tahes lähedale. 9. Mis on vasakpoolne piirväärtus? Esitada näide!
R = lim n a n +1 või 1 R = lim . n n an 25. Funktsioonide arendamine astmeritta. Taylori rida , Maclaurini rida. Kui iga x X = (cR ,c+R) korral f (x ) = a n ( x - c) n , (6) n =0 st funktsioon f on vaadeldava astmerea summa, siis öeldakse, et funktsioon f on vahemikus X arendatud astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega 1 ( n) an = f (c ), n = 0,1,2,..
a). Esmalt täiendan jada elementidega g-1 = g-2 = ... = 0
b). Korrutan rekurrentse võrrandi mõlemaid pooli suurusega zn ning summeerin üle
kõigi n'i väärtuste. Võrduse vasakul poolel olevat summat nimetatakse jada
n=0 Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0 20 II. Maatriksarvutus ning u ¨tleme, et f (A) on funktsiooni f (x) v¨a¨artus kohal A. Vaiki- misi eeldame, et rida f (A) koondub samuti. Seega, funktsiooni f (x) arendame (kui v~oimalik) koonduvasse astmeritta, seej¨arel asendame muutuja x maatriksiga A. N¨ aiteid M~onedele elementaarfunktsioonidele vastavad maatriksread: An eA := n! n=0 (-1)n A2n+1 sin A := (2n + 1)!
annaabi.ee 
