siis k~oneldakse l~ opmatust piirv¨ a¨ artusest. 41 Jada piirv¨a¨ artuse m~ oiste on erijuht funktsiooni piirv¨a¨artuse m~oistest (kui valida x0 = + ja kasutada l¨ ahenemiseks vaid argumendi naturaalarvulisi v¨a¨artusi). L~oplike suuruste a ja x0 korral kehtib j¨ argnev v¨aide. Lause 1. Arv a on funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks kohal x0 parajasti siis, kui suvalise arvu > 0 korral leidub selline arv = (), et 0 < |x - x0 | < |f (x) - a| < . T~ oestus. Lause t~ oesus j¨ areldub Definitsioonist 1 ja arvu a -¨ umbruse definitsioonist, vt Definitsiooni 1.3.2, kusjuures
Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud
Hulk v~oib olla antud ka keerulisemal kujul. N¨aiteks {x2 x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele- mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v~oib omandada v¨a¨artusi 1, 2 ja 3. Viimase hulga v~oib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}. Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨arjestatud hulki. J¨ arjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh- ta on v~oimalik ¨oelda, kumb neist on eelnev, kumb j¨argnev. Tavalise hulga ja j¨ arjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨ahistamisel kasutame loogeliste sulgude asemel u ¨marsulgi. Peale selle lubame j¨arjestatud hulga ele- mentidel ka korduda. N¨aiteks (-1, 1, -1, 1, . . .) on j¨arjestatud hulk, milles -1-le j¨ argneb 1, sellele omakorda -1 jne. Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud
12.4 Euleri funktsiooni omadusi ei1 ei1 ei2 = ei(1 +2 ) , = ei(1 -2 ) ei2 T~oestus. Kasuta Euleri funktsiooni definitsiooni ja trigonomeetri- liste funktsioonide omadusi. 1 Leonhard Euler (1707 - 1783), sveitsi matemaatik 18 V. Kompleksarvud 12.5 De Moivre'i valem J¨argnev valem kannab de Moivre 2 nime. (ei )n = ein , nN T~ oestus. Kasuta matemaatilise induktsiooni meetodit. 12.6 Korrutamine ja jagamine eksponentesituses z1 |z1 | i(1 -2 ) z1 z2 = |z1 ||z2 |ei(1 +2 ) , = e z2 |z2 | N¨ aide Arvutame (1 + i 3)(1 + i) 2ei 3 2ei 4 i( + + ) i 11
elemendid on k˜oik erinevad. Tingimuse 10 t˜ottu omab hulk ξ = { xn | n ∈ N } = {xn }n∈N piirpunkti. Olgu x hulga ξ piirpunkt ja B = { Ai | i ∈ N } punkti x u ¨mbruste baas. Moodustame u ¨hisosad Un = ∩ni=1 Ai , n ∈ N. Siis Ui ∈ U(x) ja U1 ⊃ U2 ⊃ . . . ⊃ Un ⊃ . . . . (7.6) Kuna x on jada ξ piirpunkt, siis igasse hulka Ui , i ∈ N, kuulub l˜opmata palju jada ξ elemente ning j¨argnev konstruktsioon on v˜oimalik. Asume konstrueerima koonduvat osajada ζ = {yn }n∈N jadale ξ. Jada ζ elemendid moodustame induktiivselt. Ele- mendiks y1 valime v¨ahima indeksiga elemendi jadast ξ, mis kuulub punkti x u ¨mbrusesse U1 , st y1 = xn(1) , kus n(1) = min{ m | m ∈ N, xm ∈ U1 }. Oletame, et elemendid y1 , . . . , yk on juba konstrueeritud. El- emendi yk+1 saamiseks leiame n(k + 1) = min{ m | m ∈ N, m > n(k), xm ∈ Uk+1 }.
1. Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv kohal x, siis on see ka pidev kohal x. T~oestus. Olgu funktsioon y = f (x) diferentseeruv kohal x, st f (x) = y lim . N¨aitame, et kehtib funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- x0 x mus. Selleks leiame y y lim y = lim x = lim lim x = f (x) · 0 = 0, x0 x0 x x0 x x0 2 mida oligi tarvis t~oestada. J¨argnev n¨aide aga t¨ahendab, et funktsiooni pidevusest diferentseeruvust ei j¨areldu. Vaatleme funktsiooni y = |x| punktis x = 0. Selles punktis on funktsiooni muut y = |0 + x| - |0| = |x|. Seega lim y = lim |x| = 0, x0 x0 st pidevuseks tarvilik ja piisav tingimus kohal x = 0 on t¨aidetud. Leides aga u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused |x| lim = -1
annaabi.ee 
