langeb.*Konstantne funktsioon. y = C.*Astmefunktsioon kus a on nullist y=x , Lause 3. Kui jadad (Xn) ja (Yn) on koonduvad ja nende jadade üldliikmed x rahuldavad iga n e N korral võrratust Xn=Yn, siis samasugust võrratust erinev. *Eksponentfunktsioon on funktsioon j argmisel kujul: kus astme y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7
33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja). b Vaatleme m¨a¨aratud integraali ∫ f ( x ) dx . Teeme integraali all a asenduse valides uueks muutujaks u, mis s˜oltub x-st j¨argmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja dx funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega
Seega d2y(x) = f''(x)dx2 . (3.33) V~ottes teist j¨arku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat j¨arku dife- rentsiaali d3y. Kasutades juba tuletatud valemeid (3.32) ja (3.33) arvutame: d3y(x) = d[d2y(x)] = d[f''(x)dx2] = d[f''(x)]dx2 = [f''(x)]'dxdx2 = f'''(x)dx3 . J¨arelikult d3y(x) = f'''(x)dx3 . 28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Pn(a) = f(a), P' n(a) = f'(a), ... , P(n) n (a) = f(n)(a) Otsime meid huvitavat polu¨noomi j¨argmisel kujul: Pn(x) = C0 + C1(x - a) + C2(x - a)2 + C3(x - a)3 +C4(x - a)4 + ... + Cn(x - a)n kus C0,C1,...,Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate m¨a¨aramiseks arvutame k~oigepealt Pn tuletised kuni j¨arguni n: P' n(x) = 1C1 + 2C2(x - a) + 3C3(x - a)2 + 4C4(x - a)3 +... + nCn(x - a)n-1 , P'' n(x) = 2 · 1C2 + 3 · 2C3(x - a) + 4 · 3C4(x - a)2 +... + n(n - 1)Cn(x - a)n-2 P''' n (x) = 3 · 2 · 1C3 + 4 · 3 · 2C4(x - a) +... + n(n - 1)(n - 2)Cn(x - a)n-3 , · · ·
sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨
sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist. Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨
. . = (-1)k+1 uk , (8.9) k=1 kus uk > 0, k = 1, 2, . . . Teoreem 1. Kui 1) uk > uk+1 , k = 1, 2, . . . ja 2) lim uk = 0, siis vahelduvate m¨arkidega rida (8.9) koondub. k T~oestus. Vaatleme osasummade osajada 2n S2n = (-1)k+1 uk k=1 Selles jadas v~otame liikmed paarikaupa j¨argmisel viisil S2n = (u1 - u2 ) + (u3 - u4 ) + . . . + (u2n-1 - u2n ) Esimese tingimuse t~ottu on k~oik liikmed selles avaldises positiivsed ja u ¨he liikme lisamine suurendab summat, st jada on kasvav. Teiseks, kirjutades 8 S2n = u1 - (u2 - u3 ) - (u4 - u5 ) - . . . - u2n , n¨aeme, et osasummad S2n on t~okestatud, sest S2n < u1 .
annaabi.ee 
