tet¨ uhi ja ta rahuldab omadusi: 10 x ∈ A iga A ∈ U(x) korral; 20 kui A ∈ U(x) ja A ⊂ B ⊂ X, siis B ∈ U(x); 30 U(x) on kinnine l˜opliku u ¨hisosa v˜otmise suhtes, st kui n A1 , . . . , An ∈ U(x), siis ka ∩i=1 Ai ∈ U(x); 40 iga A ∈ U(x) jaoks leidub selline B ∈ U(x), et A ∈ U(y) iga y ∈ B korral. T˜oestus. Kuna X ∈ U(x), siis U(x) = ∅. Omadused 10 ja 20 j¨arelduvad vahetult u ¨mbruse definitsioonist. Olgu A1 , . . . , An ∈ U(x). Siis leiduvad punkti x lahtised u ¨mbrused B1 , . . . , Bn ∈ T nii, et Bi ⊂ Ai iga i = 1, . . . , n kor- ral. Topoloogia on kinnine l˜opliku u ¨hisosa v˜otmise suhtes. Seet˜ottu x ∈ ∩ni=1 Bi ∈ T , ∩ni=1 Bi ⊂ ∩ni=1 An ¨mbruse definitsiooni p˜ohjal ∩ni=1 An ∈ U(x). J¨arelikult ning u kehtib ka omadus 30 . Olgu A ∈ U(x)
l¨ aheneb nullile. Kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis fg . 2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt
l¨ aheneb nullile. Kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis fg . 2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3.
6) z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ( distributiivsus), 7) 1 C nii, et 1z = z ( unitaalsus), 8) z1 z2 = z2 z1 ( korrutamise kommutatiivsus), 9) 0 = z C z -1 C nii, et zz -1 = 1 = z -1 z ( p¨o¨ordarvu z -1 olemasolu). T~oestus. Kompleksarvud defineerisime kui erikujulised teist j¨ arku ruutmaatriksid. Tehete omadused 1) - 7) j¨ arelduvad maatriks- tehete vastavatest omadustest. Kommutatiivsuse (omadus 8) ja p¨o¨ordarvu olemasolu (omadus 9) t~ oestasime eespool. 9.2 M¨ arkus: korpuse m~ oistest Omadused 8) ja 9) maatriksite korral u ¨ldiselt ei kehti. Arvutussea- dused 1) - 9) kehtivad ka ratsionaalarvude ja reaalarvude korral. Need arvutusseadused v~ oetakse aluseks abstraktse korpuse defi- neerimisel
sessis v~ oib sama suurus olla l~opmata suur ning enamikes piirprotsessides ei u¨ks ega teine. N¨aiteks on suurus x2 piirprotsessis x 0 l~opmata v¨aike ja piirprotsessis x l~opmata suur ning k~ oigis u ¨lej¨ a¨anud piirprotsessides ei ole u ¨ks ega teine. Definitsioonidest 1 ja 2 j¨ arelduvad Laused 1 ja 2. Lause 1. Mingis piirprotsessis l~ opmata v¨aikese suuruse p¨o¨ordv¨a¨artus on samas piir- protsessis l~ opmata suur suurus. Lause 2. Mingis piirprotsessis l~ opmata suure suuruse p¨o¨ordv¨a¨artus on samas piir- protsessis l~ opmata v¨ aike suurus. Lause 3. Kahe samas piirprotsessis l~opmata v¨aikese suuruse summa, vahe ja korrutis
lim sn 0 ja see ei s~oltu joone AB osakaarteks jaotamise viisit ega punktide Qk valikust osakaartel, siis seda piirv¨a¨artust nimetatakse funktsiooni f (x, y) esimest lii- ki joonintegraaliks u ¨le joone AB ehk joonintegraaliks kaare pikkuse j¨argi ja t¨ahistatakse f (x, y)ds AB Vahetult definitsioonist j¨arelduvad esimest liiki joonintegraali omadused. Omadus 1. Esimest liiki joonintegraal ei s~oltu joone l¨abimise suunast, st f (x, y)ds = f (x, y)ds AB BA Omadus 2. (Aditiivsuse omadus) Kui C on mingi joone AB punkt, siis f (x, y)ds = f (x, y)ds + f (x, y)ds AB AC CB Omadus 3.
annaabi.ee 
