. . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul m¨a¨ aravad funkt- = sioonid F ja 1 , 2 , . . . , n liitfunktsiooni z f (P ) valemiga f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D
ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨ aramispiirkond on X = R. a¨ 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨ aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk- tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨
ral sellelt l~oigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨a¨artused f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei on t¨aielikult m¨a¨aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨a¨aramispiirkond on X = R. 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk- tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨aramispiirkonna X
v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) > f (x2 ). N¨aidetes 4 ja 5 on esitatud kahanevad funktsioonid. 15 Definitsioon 10. Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) v~oi mit- tekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). N¨aidete 4, 5, 8, 9 funktsioonid ja N¨aite 7 funktsioon [x] on monotoonsed funktsioonid. Definitsioon 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma m¨ a¨ aramispiirkonnas on kasvav v~oi kahanev. N¨aidetes 4, 5 ja 9 on antud rangelt monotoonsed funktsioonid. N¨aites 1 esitatud
x R ja anname argumendile muudu x. Funktsiooni muut, mis vastab sellele argumendi muudule, on y = (x + x)2 - x2 = 2xx + x2 ja lim y = lim (2xx + x2 ) = 0, x0 x0 st pidevuseks tarvillik ja piisav tingimus on t¨aidetud, u ¨ksk~oik milline argu- mendi x R v¨a¨artus fikseerida. J¨arelikult on funktsioon y = x2 pidev kogu m¨a¨aramispiirkonnas. Teiseks kontrollime funktsiooni y = sin x pidevust. Siinusfunktsioon on samuti m¨aa¨ratud k~oikide reaalarvude hulgal. Fikseerime suvalise x R, l¨ahtudes sellest punktist anname argumendile muudu x ja leiame sellele vastava funktsiooni muudu x + x - x x + x + x y = sin(x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x
~ ~ x1 < x2 , kehtib vorratus f (x1 ) > f (x2 ). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 23 / 25 Funktsioon Definitsioon (Monotoonne funktsioon) Monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ on mittekahanev (monotoonselt kasvav ~ mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). funktsioon) voi Definitsioon (Rangelt monotoonne funktsioon) Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma ma¨ aramispiirkonnas ¨ ~ kahanev. on kasvav voi ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
annaabi.ee 
