argmist ruumi Rm+1 alamhulka: j¨ = {(x1 , x2 , . . . , xm , f (x1 , x2 , . . . , xm )) || P = (x1 , x2 , . . . , xm ) D} . Teiste s~onadega, graafik koosneb k~oigist sellistest ruumi Rm+1 punktidest, mille m esimest koordinaati on x1 , x2 , . . . , xm ja viimane, m + 1-ne koordinaat on f (x1 , x2 , . . . , xm ), kusjuures m esimese koordinaadiga m¨a¨ aratud punkt P = (x1 , x2 , . . . , xm ) jookseb l¨abi funktsiooni f m¨ a¨aramispiirkonna D. Loetleme siinkohal m~oned kahemuutuja funktsiooni z = f (x, y) graafiku omadused. Tegemist on teatud pinnaga kolmem~ o~ otmelises ruumis (joonis 6.1). See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z), mille koordinaa- did x, y ja z rahuldavad v~orrandit z = f (x, y). Pinna z = f (x, y) projektsioon xy-tasandile langeb kokku funktsiooni f m¨ a¨
1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks. M~onikord kasutatakse funktsiooni ja s~oltuva muutuja t¨ahistamiseks u ¨hte ja sama s¨umbolit. Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨ a¨ artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar-
1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks. M~onikord kasutatakse funktsiooni ja s~oltuva muutuja t¨ahistamiseks u ¨hte ja sama s¨umbolit. Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale v¨a¨artusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨a¨artusi, kusjuures leidub v¨ahemalt u ¨ks x v¨a¨artus, millele vastab mitu y v¨a¨artust. Ar-
funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel. y 1 y = f( x) 1 2 x N¨aide 1.6. Funktsiooni y = 2x - x2 m¨a¨aramispiirkonna annab ette kitsendus 2x - x2 0. Selle v~orratuse lahendihulka kuuluvad argumendi x v¨a¨artused, mis rahuldavad tingimust 0 x 2, seega antud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2]. Definitsioon 1.3. Funktsiooni y = f (x) muutumispiirkonnaks nimeta- takse muutuja y nende v¨a¨artuste hulka, mis vastavad k~oikidele m¨a¨aramispiirkonda kuuluvatele argumendi x v¨a¨artustele. Muutumispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga Y. N¨aide 1.7. Leiame n¨aites 1
Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X , kui ta on pidev hulga X igas punktis. ¨ Tahistatakse f (x) C(X ). Definitsioon ~ Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks loigul [a, b] R, kui ta on pidev ~ vahemiku (a, b) igas punktis, paremalt pidev loigu otspunktis a ja ~ vasakult pidev loigu otspunktis b. ¨ Tahistatakse f (x) C[a, b]. Lause Elementaarfunktsioon on pidev oma ma¨ aramispiirkonna ¨ sisepunktides. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 19 / 1 Funktsiooni pidevus Pidevus hulgal Definitsioon Funktsiooni f (x) nimetatakse pidevaks hulgal X , kui ta on pidev hulga X igas punktis. ¨ Tahistatakse f (x) C(X ). Definitsioon ~
¨ Definitsioon 7. Oeldakse, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X R, kui f (x) on pidev hulga X igas punktis. Fakti, et funktsioon f (x) on pidev hulgal X, t¨ahistatakse uhidalt f (x) C(X). l¨ Lause 5. Kui funktsioon g(x) on pidev punktis a ja funktsioon f (u) on pidev punktis g(a), siis liitfunktsioon f [g(x)] on pidev punktis a. T~oestage! Peab paika j¨ argmine v¨ aide. Lause 6. Elementaarfunktsioon on pidev m¨a¨aramispiirkonna sisepunktides. N¨ aide 7. Leiame piirv¨ a¨ artuse k=0 ln (1 + kx) 0 1/x y = kx x = y/k lim = lim ln (1 + kx) = = x0 x 0 x0 x0y0
annaabi.ee 
