V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
tasandil kasutab pakett seejuures teatud struktuuriga funktsioone, n¨aiteks pol¨ unoome. J¨argnevalt on graafikute skitseerimiseks kasutatud p~ohiliselt paketti SWP, vaid m~onin- gatel erijuhtudel on kasutatud TE X-is kirjutatud programme. M~oiste "funktsioon" asemel kasutatakse ka m~oistet "kujutus." Hulka f (X) nimeta- takse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f. Kui anal¨ uu¨tiliselt esitatud funkt- siooni y = f (x) korral ei ole funktsiooni m¨a¨aramispiirkond fikseeritud, siis funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks X loetakse k~ oigi nende argumendi x v¨a¨artuste hulka, mille korral 8 antud eeskiri y = f (x) omab m~otet. Olgu edaspidi lihtsuse m~ottes Y = f (X). Funktsiooni defineerimisel k~ oneldakse hulga X elemendile hulga Y elemendi vas-
f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on t¨aielikult m¨a¨ ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨ aramispiirkond on X = R. a¨ 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨ aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk- tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨ aramispiirkonna X
f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 . Anal¨ uu ¨tiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse argumendi k~oigi nende v¨a¨artuste hulka mille korral funktsiooni avaldis ¨laltoodud funktsioon y = x2 , x [0, 1] ei on t¨aielikult m¨a¨aratud. N¨aiteks u ole antud oma loomulikus m¨a¨aramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik m¨a¨aramispiirkond on X = R. 3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi- naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s~oltuv muu- tuja y ja m¨a¨aramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k~oikv~oimalikest punk- tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨abi kogu m¨a¨aramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, l¨
asendis asub koordinaatide alguspunktis, kui panna ringjoon veerema m¨o¨oda x-telge. Sellisel juhul on funktsiooni parameetrilises esitusviisis parameetriks t selle ringjoone p¨o¨ordenurk algasendi suhtes. 4 Definitsioon 1.2. Funktsiooni y = f (x) m¨a¨aramispiirkonnaks nimeta- takse niisugust argumendi x v¨a¨artuste hulka, millele anntud eeskirja kohaselt saab vastavusse seada muutuja y v¨a¨artuse. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on kas funktsiooni definitsiooniga ette an- tud v~oi funktsiooni enda poolt m¨a¨aratud. Funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse s¨ umboliga X. N¨ aide 1.5. Funktsiooni x, kui 0 x 1 f (x) = 2 - x, kui 1 < x 2 m¨aa¨ramispiirkonnaks on l~oik X = [0; 2], sest v¨aljaspool seda l~oiku ei ole funktsioon defineeritud. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel.
vastavusse muutuja z v¨a¨artuse valemiga z = f (P ) + g(P ). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨ahis on f + g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos z = (f +g)(P ) = f (P )+g(P ). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe z = (f -g)(P ) = f (P )-g(P ), korrutis z = (f g)(P ) = f (P )g(P ) ja jagatis z = (f /g)(P ) = f (P )/g(P ). Summa, vahe ja korrutise m¨a¨ aramispiirkonnaks on D. Jagatise m¨a¨aramispiirkond koosneb k~oigist sellistest P D, mille korral g(P ) = 0. Liitfunktsiooni m~ oiste. Olgu antud n-muutuja funktsioon z = F (u1 , u2 , . . . , un ). Oletame et funktsiooni F argumendid u1 , u2 , . . . , un s~oltuvad mingist m-m~o~ otmelisest muutujast P = (x1 , x2 , . . . , xm ). See t¨ahendab, et u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P ), kus 1 , 2 , . . . , n on m-muutuja funktsioonid
nimetatakse funktsiooni f graafikuks ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 16 / 25 Funktsioon ~ Moiste "funktsioon" asemel kasutatakse ka moistet ~ "kujutus." Hulka f (X ) nimetatakse hulga X kujutiseks kujutamisel funktsiooniga f . Kui analu¨ utiliselt ¨ esitatud funktsiooni y = f (x) korral ei ole funktsiooni ma¨ aramispiirkond ¨ fikseeritud, siis funktsiooni ma¨ aramispiirkonnaks ¨ X ~ nende argumendi x va¨ artuste loetakse koigi ¨ hulka, mille korral antud eeskiri y = f (x) omab motet.~ ~ Olgu edaspidi lihtsuse mottes Y = f (X ). ¨ G
annaabi.ee 
