Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem
Kuna oletasime, et p1 ... p2 on ainsad algarvud, siis pead leiduma selline i, 1 i n, nii et a jagub pi-ga. Ainus võimalus on pi=1, mis on vastuolus sellega, et pi > 1. 6. Kordarvud. 1) 1-st suuremat naturaalarvu, mis ei ole algarv, nimetatakse kordarvuks. 2) Aritmeetika põhiteoreem : iga kordarv on ühesel viisil esitatav algarvude korrutisena. Arvu esitamist algarvude korrutisena, nimetatakse ka algteguriteks lahutamiseks. 7. Paaris ja paaritud arvud. 1) Paarisarvud. a) Üldkuju 2n n b) Paarisarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 2n + 2k = 2(n + k) 2n 2k = 4nk 2) Paaritud arvud. a) Üldkuju 2n + 1 n b) Paaritute arvude hulk on kinnine korrutamise suhtes. 3) Seosed hulkade vahel. a) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
.................6 4. Arvu tegurid ja kordsed......................................................................................7 5. Jaguvuse tunnused.............................................................................................. 5.1. Jaguvus 2, 5 ja 10-ga.................................................................................. 5.2. Jaguvus 3 ja 9-ga......................................................................................8 6. Kordarvu lahutamine algteguriteks....................................................................9 7. Ajaloolisi andmeid..............................................................................................9 8. Arvude ühistegurid...........................................................................................10 9. Arvude ühiskordsed.........................................................................................11 10. Kasutatud kirjandus............................................................
suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algteguriteks lahutamiseks. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise jagajana. ÜLESANNE: Lahutame algteguriteks arvud 30 ja 75 ning leiame nende arvude suurima ühisteguri: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 30 = 2 · 3 · 5; 75 = 3 · 5 · 5; Arvude suurima ühisteguri arvutamisel korrutame nende ühiseid algtegurid:
3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15
Vähima ühiskordse leidmiseks tuleb antud arvud lahutada algtegureiks ja leida korrutis, mille teguriteks on: 1) Kõik esimese arvu algtegurid (kogu esimene arv); 2) Teisest arvust need algtegurid, mida esimeses arvus ei esine või esineb vähem arv kordi; 3) Kolmandast arvust need tegurid, mida esimeses ja teises arvus ei esine või esineb vähem arv kordi; NÄIDE: Leiame arvude 30 ja 84 vähima ühiskordse. Arvud 30 ja 84 on näites (esimeses) juba algteguriteks lahutatud. Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole. VÜK (30;84) = 2×3×5×2×7 = 420 NÄIDE: Arvutame: 7 11 30 84 Nende murdude ühine nimetaja on VÜK (30; 84) = 420. Laiendaja saame, kui jagame ühise nimetaja antud murru nimetajaga: 714 115 7×14 + 11×5 98 + 55 153 51 30 84 420 420 420 140
dekodeerimisoperatsioonid. C= Ab(M) peab olema lihtsalt arvutatav. Ib(C) peab olema leitav teades suurust Ib. Teades avalikku suurust Ab ei tohi olla võimalik arvutada salajast suurust Ib. Selliseid funktsioone Ab nimetatakse tagauksega ühesuunalisteks funktsioonideks. RSA Krüptosüsteemi RSA leiutasid 1977(8) aastal R. Rivest, A. Shamir ja L. Adleman. Seda saab kasutada andmete krüpteerimiseks ja digitaalallkirjade moodustamiseks. RSA turvalisus põhineb arvu algteguriteks lahutamise keerukusel. RSA süsteemi ülesseadmiseks tuleb teha järgnevat: *valida kaks suurt (nt 512-bitist) erinevat algarvu p ja q. Arvutada n=p*q valida e , mis on väiksem N-ist nii, et SÜT (E, (p-1)(q-1))=1. Valida d, nii et d*e=1 mod (p-1)(q-1) avalikuks võtmeks saab Ab=(e,n) ja salajaseks võtmeks Ib = (d,p,q) RSA süsteemi võtmete saamiseks arvutame: valime kaks erinevat alg arvu p=5 ja q=11 arvutada n=p*q=55 valida e selliselt, et SÜT (e,(p-1)(q-1))=1
dekodeerimisoperatsioonid. C= Ab(M) peab olema lihtsalt arvutatav. Ib(C) peab olema leitav teades suurust Ib. Teades avalikku suurust Ab ei tohi olla võimalik arvutada salajast suurust Ib. Selliseid funktsioone Ab nimetatakse tagauksega ühesuunalisteks funktsioonideks. RSA Krüptosüsteemi RSA leiutasid 1977(8) aastal R. Rivest, A. Shamir ja L. Adleman. Seda saab kasutada andmete krüpteerimiseks ja digitaalallkirjade moodustamiseks. RSA turvalisus põhineb arvu algteguriteks lahutamise keerukusel. RSA süsteemi ülesseadmiseks tuleb teha järgnevat: *valida kaks suurt (nt 512-bitist) erinevat algarvu p ja q. Arvutada n=p*q valida e , mis on väiksem N-ist nii, et SÜT (E, (p-1)(q-1))=1. Valida d, nii et d*e=1 mod (p-1)(q-1) avalikuks võtmeks saab Ab=(e,n) ja salajaseks võtmeks Ib = (d,p,q) RSA süsteemi võtmete saamiseks arvutame: valime kaks erinevat alg arvu p=5 ja q=11 arvutada n=p*q=55 valida e selliselt, et SÜT (e,(p-1)(q-1))=1
vanematel programmidel: Käsu EXPLODE ikooni kuju käib ajaga kaasa: kui vanematel AutoCADidel oli seal lõhkeva dünamiidipadruni kuju, kus oli näha tuld ja suitsu, siis uuematel AutoCADidel on see ikoon rahumeelsema välimusega – seal on karbi kujutis, mille küljed eemalduvad üksteisest Käsku EXPLODE kasutatakse joonisel olevate liitobjekti (plokk, liitjoon, mõõde, kolme- mõõtmeline objekt, hulknurk jne.) jaotamiseks üksikobjektideks – "algteguriteks". Kui plokis on liitobjekte – liitjooni, hulknurki või muid teisi sisestatud plokke ("plokk plokis"), siis neid esimesel korral üksikobjektideks ei jaotata. Edasiseks jaotuseks on vaja käsku EXPLODE eel- toodud objektide suhtes korrata. Käsu järgmise kordamisega töödeldakse järgmine sügavus jne. Liitjoone osade jooneliik säilub, kuid kuju lihtsustub: lai joon asendatakse peenega, värvus
170 – EXTEND – pikendamine; NB! Põhimuutuja EDGEMODE mõju. – BREAK (Break at Point) – katkestus punktis; – BREAK – katkestus (tükk välja); – JOIN – osade kokkuliitmine; – CHAMFER – nurga faasimine; – FILLET – nurga ümardamine; – BLEND – kahe joone vahelise sujuva ühenduse tegemine; – EXPLODE – liitobjekti jaotamine „algteguriteks”; vanadel AutoCADidel oli käsu EXPLODE ikoon sõna tõsises mõttes plahvatava dünamiidipadruni kujutisega, ingliskeelne sõna „explode” tähendabki palhvatust, kuid laialt levima hakanud anarhismi ja suitsiidi- terrorismi tõttu on ka Autodesk selle ikooni kujundanud rahumeelsena . . . . . . . . . . . . . . . . Ikoonijada OSNAP – punkti asukoha täppismääramine (tasandilise) joonise
annaabi.ee 
