3 Defineerimine ja tõestamine Hulkade ühisosa ja ühend Kui kahes hulgas on ühiseid elemente, siis öeldakse, et need elemendid moodustavad hulkade ühisosa. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühisosa on c, d ja e. Ühend on kahe hulga kõik elemendid kokkupandult. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja väide Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet
Paralleelseteks sirgeteks nim. neid sirgeid, millel pole ühtegi ühist punkti. Ühtivad sirged on kaks sirget, millel on rohkem kui üks ühine punkt. Lihtmurd on harilik murd, mille lugeja on nimetajast väiksem. Liitmurd on nimetaja lugejast Naturaalarvu, mis jagub iseenda ja 1-ga, peale 1 nim. algarvuks. Naturaalarvu, millel on rohkem kui 2 tegurit nim. kordarvuks. Definitsioon on korrektne, lühike ja piisav mõiste seletus. Algmõiste on enne tuntud mõiste , mida ei pea otseselt defineerima. Teoreem on lause, mille õigsust ssab põhjendada varem teada olevate tõdede kaudu. Aksioomid on alglaused, msi ei vaja tõestamist.
TEEMA: DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE Defineerimine mõiste täpne ja lühike määratlus Algmõiste mõiste, mida ei defineerita (punkt, sirge, tasand, ruum, hulk, arv, suurus) Ülesanne: defineeri ja õpi selgeks järgmised mõisted: 1. Lõik, murdjoon, hulknurk 2. Nelinurk, rööpkülik, ristkülik, ruut, romb, trapets. 3. Ristuvad ja lõikuvad sirged, paralleelsed sirged. 4. Täis-, nüri- ja teravnurkne kolmnurk; võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk. 5. Kolmnurga kõrgus. 6. Ring ja ringjoon, diameeter, raadius, kõõl. 7. Alg- ja kordarv, naturaalarv, täisarv.
Matemaatika põhimõisted. Definitsioon. Milline peab olema definitsioon? Lühike, tabav ja täpne. Adekvaatne ning ei tohi defineeritavaga sõnaliselt kattuda. Milline peab olema algmõiste? Ei vaja selgitust, on sobiv klassifitseerimiseks. Mis on aksioom? Väide, mille tõesuses pole kahtlust. Teoreem-lause, mille õigsus tõestatakse faktidele tuginedes arutluse kaudu. Millest koosneb teoreem? Eeldus ja väide Nurk-geomeetriline kujund, mille moodustavad 2 ühest ja samast punktist väljuvat kiirt. Sirgnurk-nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone Kõrvunurgad-2 nurka, millel 1 haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge
moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites : A B *Ühendi saame siis, kui võtame mõlemast osapooles olevad arvud või tähed. Märk tähendab sidesõna ,,ja" Märk tähendab ,,ühisosa" Märk U tähendab ,,ühend" Märk V tähendab sidesõna ,, või" 2. DEFINEERIMINE * Defineerimine Küsimusele vastamine on mõistele definitsiooni andmine. * Algmõiste Mõiste alguses olev mõiste. * Definitsioon Annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele ,,Mida nim?Mis on...? 3. TEOREEM * Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda teoreemiks. * Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse teoreemi tõestamiseks. * Tõestamist mitte vajavaid lauseid nimetatakse aktsioomideks.
Laiendamine Lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Ringjoon Selliste punktide hulk, mis asetseb võrdsel kaugusel ringjoone keskpunktist. Teravnurkne kolmnurk Kolmnurk, millel on kõik nurgad alla 90 kraadi. Nürinurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi. Nürinurk Nurk, mis on suurem kui 90 kraadi Protsent 1/100 suurusest. Rööpkülik Nelinurk, mille vastasküljed on võrdsed. Algmõiste Mõiste, mis võetakse teadmiseks ilma defineerimata Hulkade ühisosa Hulkade ühisosa on kahe hulga ühine osa. Hulkade ühend Hulk, mille elementideks on mõlema hulga elemendid. Definitsioon Lause, millega määratakse uue mõiste sisu. Kõrvunurgad Nurgad, millel on ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad Nurgad, mille haarad moodustavad lõikuvad sirged. Teoreem Lause, mida saab tõestada varem teada olevate tõdede abil.
mulje loomiseks kasutatavad ebaehtsad esemed, võltstoredus defineerima: mõistet määratlema dekoratiivne: tähelepanu tõmbavalt kaunistav diptühhon: kaheosaline kunstiteos domineeriv, dominantne: valitsev, ülekaalus olev dünaamiline: liikuv, liikumisest tingitud; tulvil sisemist edasiviivat jõudu, hoogne ekspressiivne: väljendusrikas, ilmekas; (sisemist) jõuliselt väljendav element: (ld. elementum ürgaine) alge, algmõiste, algosis ehk lihtsalt osa enkaustika: maalitehnika, mis kasutab vahast ja vaigust tehtud värvi ning kuumtöötlust selle pinnale kinnitamiseks esteetiline: kunstiliselt mõjuv; ilus, kaunis, maitsekas formaalne: vormiline, vormist lähtuv figuratiivne, figuraalne: kujundiline, kujundlik, piltlik, esemeline formaat: (pr. format, ld. forma kuju) kunstiteose mõõde, kõrguse ja laiuse vahekord; väline kuju, vorm graafika: (kr
Vastuolu: samaselt väär lause Või-tehe: disjunktsioon Hulgad Alamhulk: hulk, mille kõik elemendid kuuluvad suuremasse hulka, mile alamhulk ta on Cantori normaalkuju: ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus täiendit on rakendatud ainult üksikutele hulgatähistele Grassmani valemid: esitavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu Hulga astmehulk: hulga kõikide osahulkade hulk Hulga täiend: hulka mittekuuluvate elementide hulk Hulk: algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum Hulkade ühend: elemendid, mis kuuluvad emba-kumba hulka Hulkade ühisosa: elemendid, mis kuuluvad mõlemasse hulka Hulkade ristkorrutis: järjestatud paaride hulk, kus esimene element on pärit esimesest teguriks olevast hulgast ja teine teisest teguriks olevast hulgast Hulkade sümmeetriline vahe: elemendid, mis kuuluvad ühte või teise hulka, aga mitte mõlemasse Hulkade vahe: elemendid, mis kuuluvad esimesse hulka ja ei kuulu teise hulka
arengu strateegia väljatöötamine-kuidas parandada inimeste elutaset lühiajalises persektiivis, kahjustamata seejuures pikaajaliselt kohalikku ja ülemaailmset keskkonda. Komisjoni eesistujaks oli tollane Norra peaminister Gro Harlem Brutland. 4)Brundtlandi raporti teine nimetus ja tähtsus? Komisjoni aruanne ,,Meie ühine tulevik" ilmus 1987.aastal ja sai tuntuks kui Brutlandi aruanne, sealt on ka pärit tänane säästva arengu algmõiste. Brundtlandi aruandes sõnastati esimest korda kontseptsioon säästvast arengust, mis peaks tagama tänase põlvkonna vajaduste rahuldamise, ilma et kahjustataks tulevaste põlvede võimalusi rahuldada omi vajadusi. Aruandes populariseeriti säästvat arendamist globaalse koostöö kaudu. Raportis toodi välja jätkusuutliku arengu kolm põhikomponenti: keskkonnakaitse, majanduskasv, sotsiaalne võrdsus.
585,588 lühikese vastuse küsimusele "Mida Lõikuvateks sirgeteks nimetatakse sirgeid, nimetatakse...?" või "Mis on...?" millel on ainult üks ühine punkt. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille NB vaja selleks, et õppiks tundma mõisteid haarad moodustavad sirge. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõike, mis ei asu ühel sirgel. 7.Algmõiste - mõiste, mida ei defineerita; punkt, sirge, tasand, ruum, arv, suurus, vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult ainult üks naturaalarv 3)kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge
Ma- jast paremal kasvab õunapuu, mis on majast madalam. Õunapuu all kas- vab kolm lille. Maja ees istub kass, temast vasakul on piimakauss. Ülal taevas paistab päike. Maja tagant paistab kuusepuu, mis on majast kõr- gem. Kui pildid on valmis joonistanud, värvitakse need ära ja seejärel antakse õpilastele võimalus üksteise töid vaadata ja võrrelda. Nendes tundides lahendatakse 2. 3. ja 4. töö kogumikust „Arvuta”. 16 HULGAD Tööraamat lk 34–36 Hulga mõiste on algmõiste ja seda ei defineerita teiste mõistete abil. Hulgast saadakse ettekujutus vastavate näidete varal. Me võime kõnelda meie klassi laste hulgast, toolide hulgast klassiruumis, pliiatsite hulgast pinalis jne. Seega on hulk mingite objektide või indiviidide kogum, mida vaadeldakse tervikuna. Selle tunni alguses leitakse erinevaid hulki klassiruumist ja nimeta- takse erinevaid hulki ka mujalt (tänav, kodu, aed, mets jne). Õpetaja moodustab erinevaid hulki (näiteks aplikatsioonide abil) ja
Käesolev lühikonspekt katab suure osa aines AIY3310 (endise koodiga LIY3310) loetavast. Samal ajal ei saa seda materjali vaadelda kui antud aine täiskonspekti, mille läbitöötamine garanteeriks hea eksamiresultaadi. Loengutes ja harjutustundides käsitletakse mitmeid probleeme tunduvalt põhjalikumalt. Sellest hoolimata usun, et antud kirjutisest on paljudele tudengitest lugejatele kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)}
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) C Distributiivsusseadused A ( B C ) = ...
VEKTORID RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu- konspektist http://math.ut.ee/pmi/kursused/ag/parring/ peatü- kist "IV. Vektoralgebra`'. Viidatud materjalis on kogu teoreetiline üles- ehitus algusest lõpuni läbi tehtud koos vajalike tõestustega. Meie peame siin paratamatult tegema käsitluses teatud kärpeid, sest muidu me asja tuumani pikka aega ei jõuakski. 13.1 Suunatud lõikude hulk Märkus 13.1 Punkt on meie jaoks algmõiste, mida me ei defineeri ja mida on aasta- tuhandeid näitlikult ette kujutatud, kui pikkuseta ja laiuseta objekti. Punkte tähistame suurte trükitähtedega. Fikseeritud punkti korral ka- sutame reeglina suuri trükitähti tähestiku algusest, näiteks A, B, C. Kui on tegemist suvalise punktiga, siis tähestiku lõpuosast, näiteks X, Y , Z. Märkus 13.2 Osutub, et ruumi, tasandi kui ka sirge punktide abil saab üsna loomu- likul teel anda igaühe korral eraldi teatava vektorruumi.
annaabi.ee 
