Newton-Leibnizi valem. Valemi t ~oestus. 21. Muutujavahetus m¨a¨aratud integraalis. 22. Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid.
x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2
9) kus Pn (x) on funktsiooni f (x) Taylori pol¨ unoom (3.8), nimetatakse funkt- siooni f (x) Taylori valemiks ja suurust Rn (x) Taylori valemi j¨a¨akliikmeks. On v~oimalik t~oestada, et Taylori valemi j¨a¨akliige avaldub kujul (x - a)n+1 (n+1) Rn (x) = f [a + (x - a)], (3.10) (n + 1)! kus 0 < < 1, st a + (x - a) on mingisugune punkt a ja x vahel. Taylori valemi j¨a¨akliikme absoluutv¨a¨artus |Rn (x)| = |f (x)-Pn (x)| n¨aitab, kui suur on erinevus v¨a¨artuste f (x) ja Pn (x) vahel, st kui suur viga tehakse kasutades funktsiooni v¨a¨artuse arvutamiseks Taylori pol¨ unoomi (3.8). J¨a¨akliikme avaldises on konkretiseerimata. Seep¨arast j¨a¨akliikme abso- luutv¨a¨artust mitte ei arvutata, vaid hinnatakse seda u ¨laltpoolt. N¨ aide 2. Hindame u ¨ laltpoolt viga, mis tehakse, kui arvutatakse 1, 2
x0 x x0 x x0 69 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult ka- hanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨ a¨ akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . (3.17) aide. Olgu f (x) = x2 . Arvutame N¨ y = f (x) - f (a) = x2 - a2 = (x + a)(x - a) = (2a + x - a)(x - a) = = 2a(x - a) + (x - a)2 . Seega y = 2ax + x2 . Esimene liidetav selles valemis on diferentsiaal dy = 2ax, kusjuures tegur 2a
x0 x x0 x x0 69 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult ka- hanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨ a¨ akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . (3.17) aide. Olgu f (x) = x2 . Arvutame N¨ y = f (x) - f (a) = x2 - a2 = (x + a)(x - a) = (2a + x - a)(x - a) = = 2a(x - a) + (x - a)2 . Seega y = 2ax + x2 . Esimene liidetav selles valemis on diferentsiaal dy = 2ax, kusjuures tegur 2a
¨ I 9 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused ~ Toestus Kui n on paaritu, siis (x - a)n+1 on positiivne. Kuna f (n+1) (a) = 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, siis leidub U2 (a) kus f (n+1) > 0 voi ~ f (n+1) < 0. ~ Vottes = min{1 , 2 }, saame et y < 0 kui f (n+1) (a) < 0 ja y > 0 kui f (n+1) (a) > 0. Kui n on paaris, siis ja¨ akliikme ¨ ¨ vaheldub ja lokaalset mark ekstreemumit ei ole. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 10 / 16 Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused ¨ Naide ~
annaabi.ee 
