kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks
funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x).
Lause 1
I Kahe paarisfunktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.
I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.
I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
Definitsioon 4
Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant
T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x).
V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
Omadus 8 (m¨ a¨ aratud integraali keskv¨ a¨ artuse omadus). Kui funkt- sioon f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis leidub v¨ahemalt u ¨ks selline punkt [a; b], et b f (x)dx = f ()(b - a). a T~oestus. L~oigul pidev funktsioon omab v¨ahimat v¨a¨artust m ja suurimat v¨a¨artust M sellel l~oigul, seega kehtib omadus 7. Jagades selle v¨aites esineva m~olema v~orratuse m~olemat poolt integreerimisl~oigu pikkusega b - a, saame b 1 m f (x)dx M. b-a a 6 J¨arelikult
Funktsioon f (x) = x on paaritu, funktsioon g(x) = ln on n¨aite 1-x 4 p~ohjal samuti paaritu, j¨arelikult nende korrutis, st antud funktsioon on paaris. Definitsioon 1.6. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui selline reaalarv T = 0, et x X korral f (x + T ) = f (x). Siin on eeldatud, et ka x + T X. V¨ahimat positiivset sellist reaalarvu (kui see eksisteerib) nimetatakse funktsiooni perioodiks. Selle definitsiooni esimese poole p~ohjal on siinusfunktsioon perioodiline, sest definitsioonis n~outud reaalarvuks T sobivad 4, 10, -6 jne. V¨ahimaks 8 positiivseks selliseks reaalarvuks on aga 2, mis on definitsiooni p~ohjal sii- nusfunktsiooni perioodiks. Koosinusfunktsiooni perioodiks on samuti 2, tan- gensfunktsiooni perioodiks on .
4 -0.6 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -0.8 -1 -1 -1 -1.2 -1.2 -1.2 Definitsioon 7. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T = 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T ) = f (x). V¨ahimat positiivset arvu T , mille korral f (x + T ) = f (x) x X, nimetatakse funktsiooni f (x) perioodiks. N¨aidetes 1-6, 8, 9 esitatud funktsioonid on mitteperioodilised. N¨aite 7 funktsioon [x] on mitteperioodiline ja funktsioon x - [x] perioodiline perioodiga T = 1. N¨aide 10. Uurime funktsiooni y = sin(cx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne reaalarv. Et X = R, siis iga x X korral suvalise T jaoks x ± T X
Kui in- deksite hulk I on l˜oplik ja I = { 1, 2, . . . , n }, siis t¨ahistatakse n X = Xi = Xi = X1 × . . . × Xn , i∈I i=1 x = (xi )i∈I = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ). Otsekorrutisega X saab seostada kujutused πi : X −→ Xi , kus πi (x) = xi , x = (xi )i∈I . Kujutusi πi nimetatakse projektsioonideks. Otsekorrutisel X = i∈I Xi saab vaadelda v¨ahimat topo- loogiat T , mille suhtes k˜oik projektsioonid πi , i ∈ I, on pi- devad. Topoloogia T saadakse j¨argnevalt. K˜oigepealt peab topoloogiasse T kuuluma projektsiooni πj pidevuse t˜ottu iga Aj ∈ Tj ja j ∈ I korral hulk πj−1 (Aj ) = Aj × Xi = i∈I{j} = { (xi )i∈I | xj ∈ Aj ; xi ∈ Xi , kui i = j } kui lahtise hulga t¨aielik originaal. Et topoloogia T peab
1 · · G 2 x Joonis 2.14 Kui f ei ole pidev l~oigul [a, b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat v~oi v¨ahimat v¨a¨artust saavutada. Selle v¨aite p~ohjendamiseks vaatleme j¨argmist l~oigul [0, 2] m¨a¨aratud funktsiooni: { x , kui x [0, 2) f (x) = 1 , kui x = 2, mille graafik on toodud joonisel 2.14. See funktsioon ei ole pidev l~oigul [0, 2], sest ta ei ole l~oigu parempoolses otspunktis vasakult pidev. Funktsioonil f (x)
· · G 2 x Joonis 2.14 Kui f ei ole pidev l~oigul [a, b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat v~oi v¨ahimat v¨a¨artust saavutada. Selle v¨aite p~ohjendamiseks vaatleme j¨argmist l~oigul [0, 2] m¨a¨aratud funktsiooni: x , kui x [0, 2) f (x) = 1 , kui x = 2, mille graafik on toodud joonisel 2.14. See funktsioon ei ole pidev l~oigul [0, 2], sest ta ei ole l~oigu parempoolses otspunktis vasakult pidev. Funktsioonil f (x)
annaabi.ee 
