. Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv funktsioon. Tähistame g(t): = f( Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. dG( (x))= g( = f( . Integreerides asendusega t = saamegi jällegi 5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem. Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + . . . + an-1x + an n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0. Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr, vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul Pn(x) = a0 (x - x1)k1 (x - x2)k2 · · · (x - xr)kr , kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n. Horneri skeem.
Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna (uv)' =
u'v + v'u, siis uv'=(uv)' u'v. eeldusel, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast
määramata integraal. Et , siis eksisteerib ka ja saame tulemuseks , kusjuures suvalise konstandi C
võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise konstandi summa on suvaline konstant. Kuna dv =
v'dx ja du = u'dx, siis eelnev seos on esitatav kujul .
Polünoomid
P(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + b
Määratud integraal
Olgu lõigul [a; b] määratud funktsioon f(x). Vaatleme esiteks juhtu b > a. Jaotame selle lõigu punktidega xi
( i = 0; 1; 2; ...; n ) osalõikudeks [ xn-1, xi] ( i = 1; 2; ...; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
polaarnurgaks, kusjuures vastu
kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise
suunas mõõdetud nurk negatiivseks.
1.2 Elementaarfunktsioonid
1.Konstantne funktsioon y=c
2.Astmefunktsioon y=x
3.Eksponentfunktsioon y=ax
4.Logaritmfunktsioon y=logax
5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
suurem (x>a) (graafik!); *Arvutamine 1) lim x->af(x)=? Kuidas arv? As x=a ja arv kui f(a)=A< => limx->af(x)=f(a)=A< (sellega ül lahendatud!) *võivad tekkida Pn ( x) määramatused 0/0, / ;0* ; - ;1 ;0 ; 0;...2) kui f(x)= Qm ( x ) See on f-n mida nim murdrats ehk polünoomide jagatis, võime avaldada niisugusel kujul=>Pn(x)=a0xn+a1xn-1...+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1...+bm-1x+bm a)0/0=>lugejal ja nimetajal ühine tegur (x-a)=>lihtsustada=>lah!!! b) / => x'i kõrgeim aste tuleb sulgudest välja. Kõrgeim aste(max(n,m))=>lihtsustada0>lah! 3)irrats f-nid=> olemasolevad irrats tuleb kaotada 4)Tuntud piirv kasut limx->0sinx/x =1; limx-> (1+1/x)x=e , e 2,71.. 10. Mõningaid määramatusi Pn ( x) määramatused 0/0, / ;0* ; - ;1 ;0 ; 0;..
Võrrandeid x=...;y=... nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks, muutujat t nimetatakse parameetriks. Elementaarfunktsiooniks nim funkts, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel.: konstantne, astme-,eksponent-, logaritm-,trigo-,arkus-, hüperbppolsed-, areafunktsioonid. n-astme polünoom e täisratsionaalne funkts: Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...an-1x+an( a00), a-d on const, n-N, x-muutuja Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil on n kompleksset 0-kohta x1.. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00
Erijuhul lim c f(x) = c lim f(x). xa xa 3. lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x), lim g(x) 0. xa xa xa xa PIIRVÄÄRTUSTE ARVUTAMINE lim f(x) = f(a) < , xa NB! 0/c = 0; c/0 ; c/ 0, c 0. Määramatused tüüpi 0/0; /; 0·; - ; 1 ; 0 ;.... 4 MÄÄRAMATUSTE LAHENDAMISEST 1. DEFINITSIOON.Täisratsionaalseks funktsiooniks e. POLÜNOOMIKS nimetatakse funktsiooni Pn (x) = a0xn + a1xn - 1 + a2xn - 2 + ... + an-1x + an. Polünoomide jagatist nimetatakse MURDRATSIONAALSEKS funktsiooniks. f(x) = Pn(x)/Qm(x): 0/0: lugejal ja nimetajal on ühine tegur x a, ülesande lihtsustamiseks jagada lugeja ja nimetaja sellega läbi. /: ülesande lihtsustamiseks võtta x kõrgeim aste sulgude ette nii lugejas kui nimetajas. 2. f(x) sisaldab IRRATSIONAALSUSI: ülesande lihtsustamiseks kaotada
() - , kus M = [, ] , (f [, ]) ( [, ]), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise kusjuures Pn(x) on n-astme polünoom, st Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0 ja Sl(x) on l astme trapetsi pindala S avaldub kujul = () - () Tõestus polünoom
a a kusjuures Sk(x) (k < n) on polünoomide jagamisel tekkiv jääk ja Sk(x)/Pn(x) on lihtmurd. Lause 1. Kui Qm(x)/Pn(x) on lihtmurd ja polünoomil P n(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + a n−1x1 + an on nullkohad x1, x2, . . . , xr Järeldus: Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigul [a,b] ja g(x)≥0, ja f on pidev kordsustega k1, k2, . . . , kr (k1 + k2 + . . . + kr = n) , st polünoom lõigul [a,b], siis leidub c ∈ [a,b], nii et
ALGEBRALISTE VÕRRANDITE LAHENDAMISEST KOMPLEKSARVUDE RAKENDUSI Kompleksarve läheb vaja väga paljudel elualadel, siinkohal piirdume ainult n-astme algebraliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, mille vasakuks pooleks paari näitega. on n-astme polünoom ja paremaks pooleks arv 0: a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0, a0 0. Alalisvoolu korral kehtib Ohmi seadus: Saab näidata, et igal n-astme võrrandil on kompleksarvude hulgas n lahendit. E = I R. Siin E on elektromotoorjõud (pinge), I - voolutugevus ja R - vooluahela Näide 1. Lahendame võrrandid x4 + 5x2 + 4 = 0 ja x4 - 5x2 + 4 = 0
annaabi.ee 
