Kui palju nahktoole ja nahkdiivaneid peaks firma valmistama, et saada toodangu realiseerimisest maksimaalset kasumit, kui 1 nahktooli tootmine annab kasumit 30 eurot ja 1 nahkdiivani tootmine 50 eurot? 1. Määrata kindlaks tundmatud 2. Koostada kitsendused 3. Esitada sihifunktsioon sõnadega ja matemaatiliselt. 4. Lahendada ülesanne graafiliselt. 5. Milline on optimaalne lahend ja sellele vastav kasum? 4x1 + 12x2 <'=' 360 10x1 + 5x2 <'=' 360 12x1 + 12x2 <'=' 480 F= 30x1 + 50x2 -> max x1>'='0, x2>'='0 esimene kitsendus '4x1 + 12x2 <'=' 360 x1 0 30 x2 90 0 teine kitsendus '10x1 + 5x2 <'=' 360
Klassikalist simpleksmeetodit ei saa kasutada, kuna üks kitsendus >= märgiga. kitsendused 12x1+6x2<=24000 6x1+9x2<=18000 3x2>=4500 x1,x2>=0 F=15x1+12x2->max F-15x1-12x2=0 algne simplekstabel x1 x2 12 6 6 9 0 3
Klassikalist simpleksmeetodit ei saa kasutada, kuna üks kitsendus >= märgiga. kitsendused 12x1+6x2<=24000 6x1+9x2<=18000 3x2>=4500 x1,x2>=0 F=15x1+12x2->max F-15x1-12x2=0 algne simplekstabel x1 x2 12 6 6 9 0 3
.................. Modifitseeritud Newtoni meetodi korral.......................................................................... 7. Selgitage gradientmeetodi ideed (kus, millal ja miks kasutatakse) 8. Kus ja millal kasutatakse ülesannete ligikaudset lahendamist? Millised probleemid võivad tekkida? Mida tuleks ligikaudsel arvutamisel silmas pidada? 9. Leidke võrrandi x3-6x2-2=0 üks alglähend ja lahendamiseks sobiv newtoni meetodi kuju. 10. Leidke võrrandisüsteemi 5x1+12x2-x4-15=x1 -3x2-x3-15x1+(1/-20)x4+30=0 x1-x2+4x4-16x3=-10 12x1-18x2+24x3-60x4=72 Lahendamiseks sobiv hariliku iteratsioonimeetodi kuju.
c u x c u x uv u v v u u u v uv v v2 Edasi vaatame ülesandeid. 1. Leia funktsiooni y = 2x3 + 4x2 – 5x + 8 tuletis. Lahendus: 2. Leia funktsiooni y = 2x5 + 7x4 – 4x3 + 10x – 21 tuletis. Lahendus: y ‘ = (2x5)’ + (7x4)’ – (4x3)’ + (10x) – 21’ = 10x4 + 28x3 – 12x2 + 10. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1 3. Leia funktsiooni y tuletis. x5 Lahendus: 7 4. Leia funktsiooni y tuletis. x3 Lahendus: 3 5. Leia funktsiooni s 5t 4 t 2
x2 12x + 36 = 0, mille lahendid x1 = x2 = 6. Teeme joonise ja leiame lahendihulga. Vastus. L = ( ; 6) (6; ). Näide 9. Lahendame võrratuse 5x2 + 20x + 26 < 0. Lahendus. Lahendame võrrandi 5x2 + 20x + 26 = 0. Ruutvõrrandi diskriminant D = 120. Võrrandil lahendid puuduvad. Parabool avaneb ülespoole ja x telge ei puuduta ega lõika. 4 Vastus. L = Ø. Ülesanne 3. Lahenda ruutvõrratus. 1) 12x2 36x 0 2) 3x2 1200 0 3) 5x2 + 9x + 2 > 0 4) 4x2 11x 3 < 0 5) 3x2 + 11x 4 0 6) 4x2 7x + 2 0 7) 5x2 9x + 2 > 0 8) 3x2 + 14x 5 < 0 9) x2 10x + 25 0 10)x2 + 8x 16 0 11) 4x2 + 4x 1 > 0 12) 9x2 6x + 1 < 0 13) x2 + 2x + 8 > 0 14) x2 + 6x 10 < 0 15) 2x2 x 10 0 16) 3x2 2x + 5 0
= [ ] t ×t p= d p = rõhk töövedelikus [bar] 6 = toru materjali lubatud tõmbepinge [Rm] t = toru seina paksus [m] d = toru siseläbimõõt [m] Arvutuskäik. 12 × 10 -3 m 3 A= 60s = 0,00005m 2 = 50mm 2 m 4 s 50mm 2 d =2 = 7,98mm Valime lähima suurema siseläbimõõduga standardse toru, mis on 12x2. Tabeli järgi on lubatud töörõhk 395 bar. Leiame materjali lubatud tõmbepinge järgi maksimaalse rõhu valitud torule: N N 400 × 2mm 100 ×106 2 mm 2 N m = 1000bar p= = 100 2 = 5 8mm mm 10 Vastus: Lähteandmetes püstitatud nõudmised voolukiiruse ja vooluhulga saavutamiseks vajame toru, mille
(klassikaline simpleksmeetod, M-meetod või duaalne simpleksmeetod). 3. Kirjutada välja primaarne lahend ja anda tundmatute optimaalsetele väärtustele majanduslik tõlgendus. 1. Koostada lineaarse planeerimise ülesanne. x1 juku valmistamine x2 miku valmistamine Kakaopulber g 24x1 + 12x2 <= 4800 + x3 Karamell g 6x11 + 9x2 <= 1800 + x4 Pähkel g 9x2 >= 4500 - x5 F= 13x1 + 18x2 --->max F'= -13x1 - 18x2 - Mx6 --->min F'+13x1+18x2+Mx6=0
Näide 4.5. Leida funktsiooni y = x4 8x2 + 16 lokaalsed ekstreemumid II järku tuletise abil. Lahendus: 1. leiame funkstiooni I järku tuletis y`( x): y`( x) = 4x3 16x 2. leiame kriitilised punktid: määramatused puuduvad, y`( x) = 0 4x3 16x = 0 4x(x2 4) = 0 x1= 0, x2 = 2, x3 = -2 3.leida funkstiooni II järku tuletis y``(x): y``(x) = 12x2 16 4. y``(0) = 12 0 16 = -16 < 0 punktis x = 0 on lokaalne maksimum, y``(2) = 12 4 16 > 0 punktis x = 2 on lokaalne miinimum, y``(- 2) = 12 4 16 > 0 punktis x = - 2 on lokaalne miinimum. 5. y (0) = 16 , y (2) = 24 822 + 16 = 16 32 + 16 = 0, y (- 2) = 0, seega lokaalne maksimum on punktis (0; 16), üks lokaalne miinimum on (2; 0), teine lokaalne miinimum on ( - 2; 0).
Kontroll: x1 = 1,8 vasak pool: (3 . 1,8 + 1)2 = 6,42 = 40,96 parem pool: (2 . 1,8 + 5)2 33 = 8,62 33 = 40,96 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 1 vasak pool: (3 . 1 + 1)2 = 42 = 16 parem pool: (2 . 1 + 5)2 33 = 72 33 = 16 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 1,8; x2 = 1 c) (2x + 3)3 316 = (2x 1)3 Lahendus: 8x3 + 3 . (2x)2 . 3 + 2x . 3 . 32 + 33 316 = (2x)3 3 . (2x)2 . 1 + 3 . 2x . 1 13 8x3 + 36x2 + 54x + 27 316 = 8x3 12x2 + 6x + 1 8x3 + 36x2 + 54x + 27 316 8x3 + 12x2 6x 1 = 0 x2 + x 6 = 0 x1 = 0,5 + 2,5 = 2 x2 = 0,5 2,5 = 3 Kontroll: x1 = 2 vasak pool: (2 . 2 + 3)3 316 = 73 316 = 27 parem pool: (2 . 2 1)3 = 33 = 27 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 3 vasak pool: (2 . ( 3) + 3)3 316 = ( 3)3 316 = 343 parem pool: (2 . ( 3) 1)3 = ( 7)3 = 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3
9x1 - 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4 8.2 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit -6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4 -2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2 -4x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3 8.3 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3 6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 7 9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13 8.4 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x + 2x + 4x + x + 2x = 3 1 2 3 4 5 3x 1 + 2x2 - 2x 3 + x4 = -7 9x + 6x + x + 3x + 2x = 2 1 2 3 4 5 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 13 8.5 ¨ Ulesanne
annaabi.ee 
