Üks tingimustest tõestada.......................................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka.
t. leidub m,M : iga n m ≤ x n ≤ M Kuna lim xn=a, siis rakendades (*) e = 5 korral Leidub N : iga n (n ≥ N |xn - a|< 5) Valime m = min {x1,x2,…,xN-1,a-5} M = max {x1,x2,…,xN-1,a+5} Miks nüüd iga n m ≤ xn ≤ M? 2 varianti 1) n ≥ N => m ≤ a – 5 < xn < a + 5 ≤ M 2) n ≤ N-1 => m ≤ xn ≤ M minX = α 1) α € X 2) iga x € X, α ≤ X *- lim xn = a iga ε > 0 ∃N € IN iga n (n ≥ N => |xn -a| < ε) Tõestada, et kui xn→ 0 ja (yn) on tõkestatud, siis xnyn → 0 (lause 2.2) Lause (“hääbuva * tõkestatud = hääbuv) lim xn = 0 (yn) tõkestatud } => lim (x nyn) = 0 Tõestus: Olgu lim xn = 0. Olgu (yn) tõkestatud, s.t. ∃ K > 0. Iga n |yn| ≤ K. Vaja näidata, et lim (xnyn) = 0 s.t. iga ε > 0 ∃ N € IN. Iga n (n ≥ N => |xnyn – 0 | < ε) Fikseerime ε > 0 Kuna lim xn = 0, siis (võttes (*) e = ε/K) ∃ N € IN. Iga n (n ≥ N => xn = |xn – 0 | < ε/K) Saame:
hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y| Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks. Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P - ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte. Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte
20. Milline vektorväli on potentsiaalne? Mis on vektorvälja potentsiaal? Vektorvälja ⃗f nimetatakse potentsiaalseks ehk konservatiivseks, kui leidub skalaarväli F nii, et ⃗f = gradF. Seejuures nimetatakse skaalarvälja F vektorvälja ⃗f potentsiaaliks. 21. Defineerida skalaarkorrutis ja vektorvälja divergents. Vektorite x⃗ = (x1, . . . , xn) ja ⃗y = (y1, . . . , yn) skalaarkorrutiseks nimetatakse järgmist arvu: ⃗x · ⃗y = x1y1 + . . . + xnyn. Vektorvälja ⃗f divergentsiks kohal ⃗x nimetatakse järgmist skalaari: ∂ ∂ ¿ ⃗f ( ⃗x )= ⃗ ∇ ∙ ⃗f ( ⃗x )= f 1 ( ⃗x ) +…+ f ( ⃗x ) ∂x 1 ∂ xn n 22. Defineerida vektorkorrutis ja vektorvälja rootor. Kolmemõõtmeliste vektorite ⃗x = (x1, x2, x3) ja ⃗y = (y1, y2, y3) vektorkorrutiseks nimetatakse
Kohta Lause 1. kui suurusel on piirv olemas, siis on see üheselt määratud. Järeldus. Üks piirv: xn=a+ n, teine piirv: xn=b+ n=> a b=> kui avaldame ühe avaldise teisest, siis saame 0= (a-b)+( n- n); a-b(lõplik IR)= n- n(tõkestamatult kah suuruste vahe=> tõk kah suurus) =>vastuoluline a b, st piirväärtus üheselt määratud, mida oligi vaja tõestada. Lause2. Summa piirväärtus on piirväärtuste summa ja vahe on piirv vahe. Lause3. Korrutise piirv on piirv korrutis limn-> (xnyn)= limn-> xn* limn-> yn (kõigile selline näide!!!). Lause4. jagatise piirv on piirv jagatis lim n-> yn 0 9.Funkts piirväärtus, arvutamine Olgu meil antud funkt y=f(x); limn-> xn=a(arvu piirv olemas), aga milline on f- ni piirv? *Def. Arvu A me nim f-ni y=f(x)piirväärtuseks protsessis, kus x->a sel korral , kui vastavalt igale pos arvule leidub niisugune pos arv ( ), et | f(x)-A|< ( ), |x-a|< . Kui argument x on a ümbruses, siis vastav f-ni
annaabi.ee 
