Kui b1 ei= b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x → a, x ei= a. Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a − ja x → a + läheneb f(x) erinevatele arvudele. 13. Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta. (lk 11) Piirväärtus limx→a f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad v˜ordsed ¨uhepoolsed piirv¨a¨artused lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x). Peale selle, piirv¨a¨artuse limx→a f(x) olemasolu korral kehtib valem limx→a f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x). 14. Defineerida funktsiooni graafiku asümptoot. (lk 13) Sirget nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui P → ∞ selle punkti kaugus sirgest läheneb nullile. 15. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasümptoot? Millistel tingimustel on sirge y = b joone y = f(x) horisontaalasümptoot
¨ punktis a parajasti siis kui iga jada {xn }, mis koondub punktiks a (xn = a) korral jada {f (xn )} koondub arvuks b. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 25 Funktsiooni piirva¨ artus ¨ Reaalmuutuja funktsioon ¨ Uhepoolsed piirva¨ artused ¨ Definitsioon Arvu b nimetatakse funktsiooni f vasakpoolseks piirva¨ artuseks ¨ punktis a, kui iga > 0 leidub > 0, et iga x (a - , a) korral kehtib vorratus ~ |f (x) - b| < . xa- lim f (x) = b, f (x) - b
e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16
Katkevuspunkti on v~oimalik "k~orvaldada" defineerides funktsiooni v¨a¨artuse punktis x = 1 valemiga f (1) = 6. Siis muutub funktsioon pidevaks, kusjuures tema graafik on pidev 47 sirge. 2. §2.5 vaadeldud funktsioon { x + 2, kui x < 1 f (x) = x + 3, kui x > 1 ¨ katkeb punktis x = 1. Uhepoolsed piirv¨a¨artused eksisteerivad ja on l~oplikud, kuid erinevad. Nimelt lim- f (x) = 3 ja lim+ f (x) = 4. Seega on x = 1 esi- x1 x1 mest liiki katkevuspunkt, konkreetselt h¨uppekoht. Funktsiooni graafikul esineb "h¨upe" argumendi v¨a¨artuse x = 1 kohal (joonis 2.4). ¨ 3. Funktsioonil f (x) = tan x on katkevuspunkt x = 2 . Uhepoolsed piirv¨a¨artused
1). Katkevuspunkti on v~oimalik "k~orvaldada" defineerides funktsiooni v¨a¨artuse punktis x = 1 valemiga f (1) = 6. Siis muutub funktsioon pidevaks, kusjuures tema graafik on pidev 47 sirge. 2. §2.5 vaadeldud funktsioon x + 2, kui x < 1 f (x) = x + 3, kui x > 1 ¨ katkeb punktis x = 1. Uhepoolsed piirv¨a¨artused eksisteerivad ja on l~oplikud, kuid erinevad. Nimelt lim- f (x) = 3 ja lim+ f (x) = 4. Seega on x = 1 esi- x1 x1 mest liiki katkevuspunkt, konkreetselt h¨uppekoht. Funktsiooni graafikul esineb "h¨upe" argumendi v¨a¨artuse x = 1 kohal (joonis 2.4). ¨ 3. Funktsioonil f (x) = tan x on katkevuspunkt x = 2 . Uhepoolsed piirv¨a¨artused on olemas, kuid nad ei ole l~oplikud: lim
annaabi.ee 
