x n−1 Kasutades seda seost, saame Ning lihtsustades, saame b ∫ f ( x ) dx ≈ ∆2x [f (x 0)+2 f ( x 1 ) +…+ 2 f ( x n−1 ) + f ( x n ) ] a Trapetsvalem on teist järku täpsusega, seega absoluutse vea hinnang on | | b Sn−∫ f ( x ) dx ≤C ∆ x 2 a või (b−a)3 |R|≤ max |f ' ' (x)| 12 n2 x ∈[a ;b ] 3. VEAHINNANGUD. TRAPETSIVALEMI NÄITED. Järgnevalt vaatame lähemalt trapetsvalemit illustreerivate näidete põhjal. Valem oli eenevalt tuletatud: b ∫ f ( x ) dx ≈ ∆2x [f (x 0)+2 f ( x 1 ) +…+ 2 f ( x n−1 ) + f ( x n ) ] a Näide 1. Võtame ühe lihtsa näite 4 ∫ x 3 dx 2 Selleks, et hiljem võrrelda trapetsvalemi viga, leiame täpse väärtuse Newton-Leibniz’i valemiga. 4 x 4 | 4 4 4 24 ∫ x 3 dx= ¿ = − =64−4=60 4 2 4 4 2
Veeliinitasandi pindala AWP (area of waterplane aegunud venekeelsetes õpikutes tähistati ka S, mis on nüüd IMO poolt määratud tähistama veealust välispindala) arvutatakse teoreetiliselt jooniselt või ordinaatide tabelist (offset table) saadud ordinaatide integreerimisel. Mida enam on ordinaate, seda täpsem on arvutus. Peamine põhjus, miks ei kasutatud suurt ordinaatide hulka, oli ületamatu arvutusmaht. Meie laevaehituse praktikas kasutati peamiselt pindalade integreerimisel trapetsvalemit e. Bezout' teoreemi ja harvem Tsebõsevi arvutusvalemeid, läänes oli levinenum Simpsoni arvutusvalemite komplekt. Trapetsvalemiga võrreldes on teised täpsemad, kuid nõuavad täiendavaid või keerukaid ordinaate ja kordustegureid. Raalide ajastul on lihtordinaatide hulk trapetsvalemi puhul olematu ja täpsus igati rahuldav, kui kasutada näiteks MS Excelit. Kas sisestada 150 m pikkuse laeva veeliinitasand 11 ordinaadiga (näiteks õppetöös) või 151 ordinaadiga
x n−1 Seoseid lihtsustades saame lõpliku valemi b ∫ f ( x ) dx ≈ ∆3x [f (x 0)+ 4 f ( x 1 ) +2 f ( x 2 ) +…+ 2 f ( xn −2 ) + 4 f ( x n−1 ) + f ( xn ) ] a Simpsoni valem on kolmandat järku täpsusega, seega absoluutse vea hinnang on | | b Sn−∫ f ( x ) dx ≤C ∆ x 4 a 16 (J. Janno) Trapetsivalemi näited. Veahinnangud Järgnevalt vaatan lähemalt trapetsvalemit illustreerivate näidete põhjal. Valem oli eenevalt tuletatud: b ∫ f ( x ) dx ≈ ∆2x [f (x 0)+2 f ( x 1 ) +…+ 2 f ( x n−1 ) + f ( x n ) ] a Näide 1. Võtame ühe lihtsa näite 4 ∫ x 3 dx 2 Selleks, et hiljem võrrelda trapetsvalemi viga, leiame täpse väärtuse Newton-Leibniz’i valemiga. 4 4 4 4 ∫ x 3 dx= x4 |¿ 42 = 44 − 24 =64−4=60 2 Trapetsvalemi jaoks jaotame integraali n=4 osalõiguks, saame
yk-1 S yk R y = f (x) P Q a xk-1 xk b x valem ei ole rakendatav. Sellisel puhul kasutatakse m¨a¨aratud integraali ar- vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ).
yk-1 S yk R y = f (x) P Q a xk-1 xk b x valem ei ole rakendatav. Sellisel puhul kasutatakse m¨a¨aratud integraali ar- vutamiseks ligikaudseid meetodeid. Vaatleme k¨aesolevas punktis neist u ¨hte, nn trapetsvalemit. Trapetsvalemi tuletamiseks jaotame integreerimisl~oigu [a; b] n v~ordse pik- ¨ osal~oigu pikkus on sellisel juhul h = b - a . T¨ahistame kusega osal~oiguks. Uhe n jaotuspunktid x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xk = a + kh, ..., xn = a + nh = b ja arvutame nendes jaotuspunktides funktsiooni v¨a¨artused y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), ..., yk = f (xk ), ..., yn = f (xn ).
annaabi.ee 
