Kuupide vahe ja summa Sa juba oskad tegurdada ruutude vahet. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) . Näide 1.(Ruutude vahe): Tegurda x - 9 . Võttes ruutjuured üksliikmetest x2 ja 9, me saame x ja 3. 2 Kirjutades (x 3) kaks korda, me saame (x 3)(x 3). Kirjuta "+" märk ühte ja "- " teisse sulgu, siis saad (x + 3)(x - 3). Pane tähele, et ruutude summat a + b ei saa tegurdada (reaalsete arvude korral). 2 2 Kuupide vahe a - b = (a - b)(a + ab + b ) . Et näidata, kuidas see valem töötab, 3 3 2 2 kasutame konkreetset näidet: Näide 2. (kuupide vahe): Tegurda x - 27. 3 i) Esiteks, võta kuupjuur üksliikmest x3 , mis võrdub x.
4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2 m3n mn3 = mn (m2 n2) = = mn (m + n) (m n)
(5 x)( x 7) 1 ( x 7)( x 5)( x 25) 2 2 . lahutame teguriteks x 25 x 2 2 x 35 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Algebraliste murdude liitmine Algebraliste murdude liitmisel tuleb : 1) tegurdada kõikide liidetavate nimetajad; 2) Minna üle ühisele murrujoonele, kus nimetajaks on liidetavate nimetajate vähim ühiskordne ja lugeja saadakse liidetavate lugejatest laiendamise teel. 3) Võimaluse korral koondada lugejas sarnased liikmed ja taandada murd Näide x2 x 2 x2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 ( x 1)( x 1) x 1 ( x 1)
kuubi valem: esimese liikme kuup - kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis + kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis - teise liikme kuup 23.Peastarvutamine - Õ ül.360,373,378 muuta tehete järjekorda nii, et saada enne lõppvastust lihtsaid arve, selleks: 1)kasutada korrutamise jaotuvuse seadust tagurpidi ehk ühisteguri toomist sulgude ette NB taandada sobivaid arve või astmeid, kui nad on tegurid 24.Taandamine - tegurdada Õ ül.379,483 hulkliikmed, kasutades sulgude ette taandasin b-ga toomist või valemeid; otsida ühiseid tegureid ja taandada nendega taandasin u+v-ga 25.Tegurdamine kuupide valemite abil Õ ül.509,512,524,528 - hulkliikme teisendamine korrutiseks 1) kasutada valemeid nn.tagurpidi selgitus: kuuest
a) 6x-3y; b) 6x-9y; c) 2x-3y; d) 4x-9y; e) 6x+9y Avaldise (-5t+6u)-(2t+3u) väärtus on a) -3t+9u; b) -7t+3u; c) -3t-3u; d) -7t+3u: e) -3t+9u Avaldise (-2a4x5)3 väärtus on a) 2ax2; b) 8ax2; c) 8a12x15; d) 2a7x8; e) 8a12x15. Hulkliige 8a+4b-4a-8b+11 on pärast sarnaste liikmete koondamist ja korrastamist a) 4b-4a+11; b) 4a+12b+11; c) 4a-4b+11; d) 27ab; e) 16ab+11 Tegurdades kaksliiget 4x2-16 saame tulemuseks a) 2x-8; b) (2x-4) (2x+4); c) (2x-4) (2x-4); d) 20x; e) ei ole võimalik tegurdada Avaldis (3x+y)(y-3x) on sama, mis a) 9x2-y2; b) (3x+y)2; c) (3x-y)2; d) y2-9x2; e) (y-3x)2. Avaldis (2x-3)2 on sama, mis a) 2x2-9; b) 4x2-9; c) 4x2-12x+9; d) 4x2+12x+9; e) 2x2+9. Avaldis (3a+b)2 on sama, mis a) (3a+b)(3a+b); b) (3a+b)(3a-b); c) 9a-6a+b; d) (b-3a)(b+3a); e) 3ab. Korrutise 3ax(2a2x-4ax3) väärtus on a) 6a2x-8ax3; b) 8a3x2-16a2x4; c) 6a3x2-12a2x4; d) 2a3x2-4a2x4; e) 24ax. Jagatise (9x2y-15xy3): (-3xy) väärtus on
2 3 5 35 15 15 15 3 1 1 d) 4 6 2 Lahendus: 3 ( 3 1( 2 1( 6 9 2 6 5 4 6 2 12 12 2. Lihtsusta järgnevad avaldised. a b a) a b a b Lahendus: Ühine nimetaja on (a + b)(a b). a 2ab b 2 a 2 b) 2a 2b a b 2a 2b 2 Lahendus: Siin saab iga murru nimetaja tegurdada. Saame a a ; 2a 2b 2 a b 2ab b 2 2ab b 2 ; a 2 b2 a b a b a a . 2a 2b 2 a b Näeme, et antud murdude ühiseks nimetajaks sobib korrutis 2(a + b)(a b). a a 3 a2 a 2 2 c) a 1 1 a a 2a 1 Lahendus: Selles avaldises on kahe esimese murru nimetajad vastandmärgilised. Need murrud saab teisendada ühenimelisteks sel teel, et kasutame võrdusi
(Eukleides) matemaatikute keel Sulgudes seisev „Eukleides” tähistab tõestuse autorit ja tihti nimetataksegi seda teoreemi Eukleidese teoreemiks. Meenutame, et algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult enda ja ühega – nagu näiteks 2, 3 ja 5. Arvud 4 ja 6 aga pole algarvud, sest ja . Algarvud on mingis mõttes kõikide teiste arvude baasiks. Neid ennast ei saa tegurdada, aga kõik teised arvud võime esitada algarvude korrutisena. Näiteks võime algarvude korrutisena kirjutada ja Üritame lugejat selles teoreemis järgnevalt ka veenda. Meenutame, et arutlust, mis veenaks ka kõige skeptilisemat matemaatikut, nimetatakse tõestuseks ning sisuliselt annamegi siin tõestuse. Tõestus: Alustuseks märgime, et algarve kindlasti leidub – näiteks 2, 3 ja 5 on algarvud ja nii mõnigi veel
annaabi.ee 
