kolmikintegraalid üle piirkondade V 1 ja V 2 . Omadus 2 (kolmikintegraali tõkked). Kui m ja M on vastavalt funktsiooni f ( x, y , z ) vähim ja suurim väärtus piirkonnas V, siis kehtib võrratus mV I V MV , kus V on antud piirkonna ruumala ja IV on funktsiooni f ( x, y, z ) kolmikintegraal üle piirkonna V. 5. Muutujate vahetus kolmekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valemid ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele ja sfäärikoordinaatidele). Koordinaatide teisendamis valem: f ( x, y, z )dxdydz = f [ (u, t , w), (u, t , w), (u, t , w)] I dudtdw V V Funktionaaldeterminant: x x x u v w y y y I= u v w z z z u v w Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele: f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z) dddz V V Ülemineku valem ristkoordinaatidelt silinderkoordinaatidele:
10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? 17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23
Kasutada siis, kui piirkond D on ringjoon x=r∗cosθ , y=r∗sinθ , r2=x2+y2 18.Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? Lineaarsus Adiktiivsus. Kui piirkond V on jaotatud kaheks piirkonnaks V1 ja V2, millel pole ühiseid seesmiseid punkte Monotoonsus. kui f on suurem kui g igas piirkonna V punktis Kõigepealt sisemine integraal, siis keksmine ja siis välimine 19.Üleminek silinderkoordinaatidele(millal kasutada, üleminekuvalemid) Üleminek, kui tegemist on silindri ruumala leidmisega x=ρ∗cosφ , y=ρ∗sinφ, z=z 20.Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, üleminekuvalemid) Kui tegemist on sfääri(kera) ruumala leidmisega x=r∗cosφ∗sinθ , y=r∗sinφ∗sinθ , z=r∗cosθ 21.Kolmekordse integraali rakendusi Kujundi ruumala leidmine Piirkonna ruumala massi 22
Ristkoordinaadis: Piirkonda R3 nim. Regulaarseks, kui tema raja koosneb lõplikust arvust pidevatest pindadest tüüpi z=z(x, y) või y=y(x,z) või x=x(y, z) Def:Regulaarset piirkonda ={(x,y,z)R3 | (a x b) (1(x) y 2(x)) (1 (x, y) z 2 (x, y))} Kus funktsioonid 1 2 C[a,b], 1 2 C(prxy ()) nim. Normaalseks piirkonnaks (xy- tasandi ja x-telje suhtes) Lause Kui f I(), kus ={(x,y,z)R3 | (a x b) (1(x) y 2(x)) (1 (x, y) z 2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0, +lõpmatus) [0, 2). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0 , +lõpmatus), [0,2) [0, ]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks
pindadest tüüpi z=z(x, y) või y=y(x,z) või x=x(y, z) Def:Regulaarset piirkonda Ω={(x,y,z)€R3 | (a ≤ x ≤ b) ˄ (φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)) ˄ (ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y))} Kus funktsioonid φ1 φ2 € C[a,b], ψ1 ψ2 € C(prxy (Ω)) nim. Normaalseks piirkonnaks (xy- tasandi ja x-telje suhtes) Lause Kui f € I(Ω), kus Ω={(x,y,z)€R3 | (a ≤ x ≤ b) ˄ (φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)) ˄ (ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim
Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi ∭𝑉 𝑓(𝑃)𝑑𝑉 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫φ12(𝑥) 𝑑𝑦 ∫ψ12(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus graafikuks oleva pinnagaja küljelt silinderpinnaga, mille moodustaja on paralleelne z-teljega ja juhtjooneks lahendamine. Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis on esitatav kujul y’+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid.Olgu funktsioonid p(x) ja q(x)
0 0 R2 y2 V 3R 4R 2 z 2 4R 2 y 2 z 2 dz dy f x, y, z dx. 0 R 0 Kui intergreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoordinaatidele x cos , y sin , z z f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz V V Näide 38. Leida piirkonna ruumala, kui ta on piiratud silidriga x 2 y2 1 ja tasanditega x 0, z 2 ja x z 4 0
korral, siis ( x, y ) f (x, y, z )dxdydz = dxdy ( f) (x, y, z )dz . E D x, y Tekkiva kahekordse integraali arvutamiseks püüame kasutada kahekordse integraali arvutusvalemeid. 3. Muutujavahetus kolmekordses integraalis Üleminek silinderkoordinaatidele Olgu r 0 , , h punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid. Seega x = r cos , y = r sin , z = h (r , , h ) . f (x, y, z )dxdydz = f (r cos , r sin , h ) r dr d dh . E Üleminek sfäärikoordinaatidele Olgu r 0 , , punkti P = ( x, y, z ) silinderkoordinaadid. Seega x = r cos sin , y = r sin sin , z = r cos (r , , ) . f (x, y, z )dxdydz = f (r cos sin , r sin sin , r cos ) r sin dr d d .
T¨ahistame selle punkti projektsiooni xy-tasandile P . T¨ahistame punkti P kaugust koordinaatide alguspunktist ja l~oigu P O ning x-telje vahelist nurka . Suurustel ja on sama t¨ahendus, mis tasandilisel juhul polaarkoordinaatidel. Definitsioon. Punkti P silinderkoordinaatideks nimetatakse suurusi , ja z. Et -l ja -l on sama t¨ahendus, mis polaarkoordinaatidel ja kolmanda koordinaadiga teisendust ei tehta, on u¨lemineku valemiteks ristkoordinaati- delt silinderkoordinaatidele x = cos y = sin (7.28) z = z. 25 z z P O
annaabi.ee 
