tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t~oestada, et lim xa f(x) eksisteerib ja v~ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v~orduste reast: lim xa f(x) = lim xa [f(x) - f(a)] + f(a)= lim xa f(x) - f(a)/ x a * lim xa (x - a) + f(a) = f'(a) · 0 + f(a) = f(a). Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C' = 0, C - konstant, 2) (xa)' = a x a-1 , 3) (ax)' = ax lna , sealhulgas (ex)' = ex , 4) (loga x)' = 1 /xlna , sealhulgas (lnx)' = 1 /x 5) (sinx)' = cosx, 6) (cosx)' = -sinx, 7) (tanx)' = 1 /cos2 x , 8) (cotx)' = - 1 /sin2 x 9) (arcsinx)' = 1/ 1 - x2 10) (arccosx)' = - 1 / 1 - x2 11) (arctanx)' = 1/ 1 + x2 12) (arccotx)' = - 1 /1 + x2 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon.
)z. Juhul (a) kehtib võrdus f ′ (c) = 0, seega f (z) − f (y) = 0 ehk f (y) = f (z) suvaliste y, z ∈ D puhul. (b) Kui f ′ (x) > 0 iga x ∈ D o korral, siis seose (4.10) kohaselt f (z) − f (y) = f ′ (c) (z − y) > 0, seega on f rangelt kasvav. Analoogiliselt saadakse väite (b) teine pool, samuti väide (c) (iseseisvalt!z). Lause 4.13 Olgu δ > 0 ja olgu funktsioon f : D → R pidev punktis a ∈ D o ning dife- rentseeruv mõlemas vahemikus (a − δ, a) ja (a, a + δ) . (a) Kui f ′ (x) > 0 iga x ∈ (a − δ, a) korral ja f ′ (x) 6 0 iga x ∈ (a, a + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. (b) Kui f ′ (x) 6 0 iga x ∈ (a − δ, a) korral ja f ′ (x) > 0 iga x ∈ (a, a + δ) korral, siis on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum. Tõestus. Iseseisvalt!z Lause 4.13 võimaldab funktsiooni lokaalsete ekstreemumite olemasolu testida ka neis
Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab u ¨ks kindel reaalarv f (x). Seega on f funktsioon, mis on m¨a¨aratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi v¨alja argumendi v¨a¨artusel x. Kui t¨ ahistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut j¨argmiselt: y = f (x+x)-f (x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame y f (x + x) - f (x)
Pi- devate funktsioonide hulk on suurem kui diferentseeruvate funktsioonide hulk. Tuletame meelde, et funktsiooni pidevus t¨ahendab geoemeetriliselt joone (so funktsiooni graafiku) pidevust. Tekib k¨ usimus: milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Sellele saame vastuse §3.5. Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k~oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab u ¨ks kindel reaalarv f (x). Seega on f funktsioon, mis on m¨a¨aratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi v¨alja argumendi v¨a¨artusel x. Kui t¨ahistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut j¨argmiselt: y = f (x+x)-f (x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame y f (x + x) - f (x)
Kasutades seost arctan x + arccot x = , saame 2 1 (arccot x) = - 1 + x2 9 2.6 Liitfunktsiooni tuletis Liitfunktsiooni y = f [(x)] kaheks komponendiks on y = f (u) ja u = (x). Teoreem 5.2. Kui u = (x) on diferentseeruv kohal x ja y = f (u) dife- rentseeruv vastaval kohal u, siis liitfunktsioon y = f [(x)] on diferentseeruv kohal x ja {f [(x)]} = f [(x)] (x). (2.4) T~oestus. T¨ahistame liitfunktsiooni F (x) = f [(x)]. Siis y = F (x) ja y y u F (x) = lim = lim · = x0 x x0 u x y u
annaabi.ee 
