Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Irratsionaalarvud Mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Näiteks: 2 = 1,41421..., = 3,14159265..., e = 2,71828... Iga irratsionaalarv on kuitahes täpselt lähendatav ratsionaalarvudega 1,4 < 2 < 1,5 täpsus 1/10 1,41 < 2 < 1,42 täpsus 1/100 1,414 < 2 < 1,415 täpsus 1/1000 7 Reaalarvud Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. Näiteks: 3 - 2; / 3; 2,7128...; 4 / 3; Reaalarvude hulk on pidev: igale punktile arvteljel vastab parajasti üks reaalarv. Reaalarvud on järjestatavad suuruse järgi, s. o. iga kahe reaalarvu x ja y kohta kehtib parajasti üks seostest: x < y, x = y, x > y. 8 Kompleksarvud Võrrandil x2 + 1 = 0 pole lahendit reaalarvude vallas, kuna - 1
nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a = , 12 ...(n -1)99... . Edaspidi välistame kümnendmurru esitamise kujul, mis lõpeb numbriga 9 perioodis. See eeldus võimaldab hõlpsamini defineerida reaalarvude võrdlemise eeskirjad. Seega reaalarvudeks nimetame kõiki lõpmatuid kümnendmurde, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis. Reaalarvude võrdlemine Reaalarve a = , 12 ...n ... ja b = , 1 2 ...n ... nimetame võrdseteks, kui a = b, i = i , i = 1,2, .... Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k 1, nii et a = b, 1 = 1, ..., k -1 = k -1 , k > k. Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks
· Täisarvud Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; · Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis) · Kopleksarvud - Arve kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Arvu, mille ruut on 1, nimetatakse imaginaarühikuks. Näiteks on kompleksarvud 5 - 4i. 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. Reaalarvu x absoluutväärtuseks (ehk mooduliks, tähistatakse |x|) nimetatakse
8 kg; suhe 1.12) ÜLESANNE I Pinnatükk 36 LIMITS Järgnevalt on vaja määrata joonestusvälja suurus. Selleks on käsk LIMITS Kui arvuti näitab joonise vasaku alanurga koordinaatideks < 0.0000, 0.0000 >, siis vajutada lihtsalt ↵, kui ei, siis sisestada 0,0 ↵ (sisestada just nii: “null koma null”, arvuti loeb täisarvud (Integer) reaalarvudeks Real), millel ei ole kümnendkohti (FORTRAN näiteks seda ei tee, või kui teeb, siis tuleb selleks käsus FORMAT see väga täpselt ette anda)) NB! AutoCAD loeb sõnavahesõrmisele vajutamist sama- väärseks vajutusega ↵ , seega koordinaatide sisestamisel ei tohi koma järele tühikut sisestada, kuigi kõikidel näidetel tekstides on seda selguse mõttes kasutatud. Vahemärkusena olgu öeldud, et käsuga LIMITS saab anda põhimuutujale
omadusega q < r + s < x + x′ . Niisiis, ψ(x + x′ ) = sup{ϕ(q) : q ∈ Cx+x′ } = sup{ϕ(r + s) : r ∈ Cx , s ∈ Cx′ } = = sup{ϕ(r) + ϕ(s) : r ∈ Cx , s ∈ Cx′ } = = sup{ϕ(r) : r ∈ Cx } + sup{ϕ(s) : s ∈ Cx′ } = = ψ(x) + ψ(x′ ). Analoogiliselt veendutakse, et ψ(xx′ ) = ψ(x)ψ(x′ ). Definitsioon. Reaalarvudeks nimetame täieliku järjestatud korpuse elemente. Kõigi reaal- arvude hulka (täpsemalt, järjestatud korpust) tähistame tähega R. Kuna käesolevas kursuses on kõik vaadeldavad arvud reaalarvud, siis tähendab sõna arv järgnevas alati reaalarvu. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud
nime. Suurima sünniaasta saab kätte käsuga MAX. Sarnaselt töötab ka MIN. Või leiame tabelis olevate laste keskmise vanuse kasutades AVG funktsiooni (sõnast average) Nagu näeme on tulemus täpselt sama täpne kui lähteandmed. Kui soovime andmetüüpi arvutuste käigus muuta tuleb lähteandmed teisendada sobivale kujule ning sooritada tehte pärast teisendust. Näiteks kui teisendame esmalt kõik vanused reaalarvudeks ning arvutame seejärel keskmise saame hoopis põnevama tulemuse: Funktsioon CAST ütleb SQLile, et käsitle seda andmevälja nii nagu ta oleks seda teist tüüpi. Keerukamate arvutuste jaoks tuleb kasutada CONVERT funktsiooni. Kui on põhjust väärtused kokku liita, aitab funktsioon SUM. Praegusel kujul võib ette kujutada, et kui kõik lapsed heidaksid üksteise järele pikali nii, et ühe pea puudutab järgmise taldu, siis kokku oleks nende pikkus 9,67 meetrit.
annaabi.ee 
