..,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R
Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)=
( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 .
Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu
x*y=x1y1+...+xnyn
Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise
nurga koosinuseks nim arvu cos (nurk x,y)=x*y/|x||y|
Hulka U (P)={QRn|d(P,Q<} nim punkti P -ümbruseks.
Punkti P Rn nim hulga C Rn rajapunktiks, kui iga > 0 korral, sisaldab punkti P -
ümbrus nii hulga punkte kui ka hulka mittekuuluvaid ruumi Rn punkte.
Hulka C Rn nim lahtiseks, kui iga punkti P korral leidub > 0, et U (P)C
Hulka C Rn nim kinniseks, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte
Hulka C Rn nim tõkestatuks, kui leidub reaalarv r>0, et C {QRn|d(0,Q)
.. . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus
Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste. · Lahtiseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A=(a1,a2,...,am) ja raadiusega r > 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| < r } · Kinniseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A = (a1,a2,...,am) ja raadiusega r 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| r } · Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm. · Hulga G rajapunktiks nim. punkti A, kui tema suvalises ümbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. · Hulka G nim. sidusaks kui selle hulga iga kahte punkti wqqb ühendada pideva murdjoonega, mille kõik punktid kuuluvad hulka G. · Hulka G nim. tõkestatuks kui leidub (kinnine või lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. · Olgu x1,x2,..
Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste. · Lahtiseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A=(a1,a2,...,am) ja raadiusega r > 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| < r } · Kinniseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A = (a1,a2,...,am) ja raadiusega r 0 nim. hulka U ( A,r ) = {B|| B Rm , |BA| r } · Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm. · Hulga G rajapunktiks nim. punkti A, kui tema suvalises ümbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. · Hulka G nim. sidusaks kui selle hulga iga kahte punkti wqqb ühendada pideva murdjoonega, mille kõik punktid kuuluvad hulka G. · Hulka G nim. tõkestatuks kui leidub (kinnine või lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. · Olgu x1,x2,..
R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte.
Vastav kinnine kera on l~oik [a - r, a + r]. Kahem~o~ otmeline lahtine kera on ring ilma ringjooneta ja kinnine kera on ring koos ringjoonega. Kolmem~o~otmeline lahtine kera on kera ilma sf¨a¨ arita ja kinnine kera on kera koos sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨hisosa. Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad
annaabi.ee 
