Loogika (TAUNO ÕUNAPUU) 30.01.14 Loogika on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Loogika esitab väiteid ja arutlusi formaliseeritud kujul, kasutades kuntslikke formaalseid keeli. Selle valdkonnaga tegelevad nii filosoofia kui ka matemaatika. Klassikaline loogika puhul võib eristada kahte formaalset keelt – lausearvutust ja predikaatarvutust. Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest.Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus, milles kasutatakse täiendavalt redikaadi,
t1...tn on indiviidtermid. 1. Atomaarne valem on valem. 2. Kui p on valem, siis ¬p on valem. 3. Kui p ja q on valemid, siis (p&q), (pq), (pq) ja (pq) on valemid. 4. Kui p on valem ja v on indiviidmuutuja, siis v p ja v p on valemid. 5. Valemi välised sulud võib ära jätta. Predikaatarvutuse põhimõisteid: Lausearvutuses võetakse arvesse üksnes lause tõeväärtus. Kui tahetakse arvestada ka lause sisuga, läheb vaja predikaatarvutust, milles üldistatakse lauseid arvestades, et lauses on kaks osa: indiviidid objektid, mille kohta midagi väidetakse ja predikaat mis väljendab indiviidide teatud omadust või nendevahelist seost. Nt Võtame sarnased laused: 2 on algarv, 3 on algarv, 4 on algarv jne. Kõigis neis lausetes on indiviidideks naturaalarv x naturaalarvude hulgast N ning predikaadiks on omadus olla algarv A. Seos ,,... on algarv" on käsitletav predikaadina, mille saab kirja panna nt kujul: A(x), kus xN
Selleks piisas Turingi veendumust mööda Turingi masina kui universaalse masina teoreetiliste võimaluste uurimisest. Turing tõestas, et tema masina abil ei ole võimalik alati otsustada, kas suvaline predikaatarvutuse keeles kirjutatud väide on õige ja seega predikaatarvutuse reeglitest mehaaniliselt tuletatav või ei. Predikaatarvutus ei ole lahenduv. Mittelahenduvus laieneb predikaatarvutuselt muidugi kõigile süsteemidele, mille kaudu predikaatarvutust esitada saab. Predikaatarvutusest oluliselt lihtsamad loogikasüsteemid on sageli lahenduvad. Juba enne Turingit oli teada, et näiteks klassikaline lausearvutus on lahenduv. On olemas algoritmid, mis suudavad (kui neile piisavalt aega anda) iga lausearvutuse keeles kirjutatud väite kohta öelda, kas see väide on õige ja tuletatav, või vale ja ei ole tuletatav. Lahenduvuse takistuseks on väited, mis pole tuletatavad: ei saa olla olemas algoritmi, mis suudaks mittetuletatava
võimatu väljendada, nt Leibnizi identsuse printsiip: kaks objekti a ja b on identsed parajasti siis, kui neil on samad omadused. St,kõike, mida saab öelda neist ühe kohta, saab öelda ka teise kohta, ja ümberpöördult. See võimaldab defineerida võrdusmärgi: (a = b) = (definitsioon) ∀P (Pa ↔ Pb). Nii nagu esimest järku predikaatarvutuses indiviidide puhul, peame nüüd arvestama predikaatide muutmispiirkondadega. Siinse kursuse raames teist järku predikaatarvutust rohkem ei käsitleta, ent esimest järku predikaatarvutust kasutatakse tuletamiseks ning süllogismide uurimiseks. 1 8. TULETUS Arutlus on väidete lõplik jada, mille viimane liige on lõppjärelduses ning ülejäänud liikmed on eeldused (vt definitsiooni 5.1). Lõppjäreldus võib olla uus (eeldustest erinev) väide, aga võib olla ka üks eeldustest. Põhiline erinevus arutluse ja järeldamise vahel seisneb selles, et
võimatu väljendada, nt Leibnizi identsuse printsiip: kaks objekti a ja b on identsed parajasti siis, kui neil on samad omadused. St,kõike, mida saab öelda neist ühe kohta, saab öelda ka teise kohta, ja ümberpöördult. See võimaldab defineerida võrdusmärgi: (a = b) = (definitsioon) P (Pa Pb). Nii nagu esimest järku predikaatarvutuses indiviidide puhul, peame nüüd arvestama predikaatide muutmispiirkondadega. Siinse kursuse raames teist järku predikaatarvutust rohkem ei käsitleta, ent esimest järku predikaatarvutust kasutatakse tuletamiseks ning süllogismide uurimiseks. 1 8. TULETUS Arutlus on väidete lõplik jada, mille viimane liige on lõppjärelduses ning ülejäänud liikmed on eeldused (vt definitsiooni 5.1). Lõppjäreldus võib olla uus (eeldustest erinev) väide, aga võib olla ka üks eeldustest
annaabi.ee 
