1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 2. Kahekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 3. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 4. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (esitada vastav valem tuletamata). 5. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. 6. Kolmekordse integraali omadused (põhjendusi ei küsi). 7. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 8. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 9. Silinderkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse (esitada vastav valem ilma tuletamata). 10.Sfäärkoordinaadid
Et kehiks järgmine vahetuse valem peab olema täidetud kaks tingimust: 1) x=x(u,v) ja y=y(u,v) 2) Olgu nim. pöördasendust määravatel funktsioonidel x(u,v) ja y(u,v) olemas osatuletised xu',xv',yu',yv' terves piirkonnas D siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin
definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. 24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 26. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Tuletada vastav valem. 27. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 28. Tuletada tasandilise kujundi massi valem pindtiheduse kaudu. Tuletada tasandilise kujundi masskeskmete koordinaatide valemid pindtiheduse kaudu. 29. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. Massi arvutamine ruumtiheduse kaudu (tuletada vastav valem). 30. Kolmekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 31. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 32
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 =
D D' J (u , v ) = yu yv on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = Seega sin cos
Paljudel funktsioonidel on polaarkoordinaadistikus oluliselt lihtsam esi- tusviis kui ristkoordinaatides. Polaarkoordinaatide puhul loetakse tavaliselt argumendiks polaarnurk ja funktsiooniks polaarraadius . Seega funktsioon polaarkoordinaatides esitatakse s~oltuvusena = (), mis iseloomustab, kui- das polaarraadius s~oltub polaarnurgast. 7 N¨aide 1. Teisendame ilmutamata kujul antud funktsiooni (x-r)2 +y 2 = 2 r polaarkoordinaatidesse. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga (r; 0) ja raadiusega r. Avades antud v~orduses sulud, saame x2 - 2rx + r2 + y 2 = r2 ehk x2 + y 2 = 2rx. Minnes teisenduste (5.6) abil u ¨le polaarkoordinaatidele, saame 2 = 2r cos ehk = 2r cos . N¨aeme, et polaarraadius avaldub polaarnurga suhteliselt lihtsa ilmutatud funktsioonina, mille graafikuks olev ringjoon on joonisel 5.12.
ga, kusjuures e saab asendada (cost-isint)-ga. Avaldise nimetajas tuleb eraldada reaalosa (imaginaarühikuta liikmed) ja imaginaarosa (imaginaarühikut sisaldavad liikmed). Nimetajas kujuneb avaldis a+ib või a-ib. Nimetajas imaginaarühikust vabanemiseks korrutame komplekssageduskarakteristiku W(i) avaldises lugeja ja nimetaja a+ib või a-ib-ga nii, et märk oleks vastupidine nimetaja avaldises oleva märgiga. Saame reaalosast ja imaginaarosast koosneva kompleksarvu. Polaarkoordinaatidesse viimiseks leitakse moodul: A() = ( Re()) + ( Im()) 2 2 ja argument: Im() () = arctg ( ) Re() Andes nurkkiirusele väärtusi nullist lõpmatuseni saab koostada komplekse sageduskarakteristiku. 18. Tüüplülide mõiste ja klassifikatsioon
annaabi.ee 
