18. Üleminek sfäärikoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 19. Kolmekordse integraali rakendusi. 20. Joonintergaalid (tasandiline ja ruumiline joonintegraal, geomeetriline tähendus). Esimest ja teist liiki joonintegraalide omadused ning erinevused. Kuidas arvutada joonintegraale? 21. Green’i valem (mis seose annab Green’i valem?). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28
asendist kujundi suhtes ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui ka võrdsed 0-ga. Nende telgede ristumispunkt, millede suhtes staatiliste momentide väärtused S = 0, ongi kujundi pinnakese. 2.7. Mis on lihtkujund? Lihtkujund on kujund, mille pinnakeskme asukoht on teada, pindala on hõlpsasti 1 arvutatav ja pindintegraalid on hõlpsasti arvtutatavad. 2.8. Mis on liitkujund? Liitkujund on kujund, mille pinnakeskme asukoht ei ole teada, pindala ja pindintegraalide arvutamine on keerukas ja teda saab jaotada lihtkujunditeks. 2.9. Kuidas saab arvutada keeruka kujundi inertsimomente? Kujundid saab jaotada lihtsateks osakujunditeks (ruudud, kolmnurgad jne.). Leida nende kujundite inertsimomendid, seejärel need kokku liita ja saab
D L integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25.Pindintegraalid(Ostrogradski ja Stokes’i valem- mis seosed need valemid annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali Ostrogadski valemiga saab üle minna Kolmekordselt integraalilt pindintegraalile Stokes’i valemiga saab üle minna pindintegraalilt joonintegraalile Esimest liiki pindintegraali saab arvutada valemiga ❑ ∬ f (x , y , g ( x , y ) )√ z 2x + z 2y + 1dA D 26
5.9. Kuidas saab määrata kujundi pinnakeskme asukoha? Tasapindkujundi staatiliste momentide Sy ja Sz väärtused sõltuvad yz- teljestiku asendist kujundi suhtes (Joon. 5.5) ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui ka võrdsed 0-ga. Nende telgede ristumispunkt, millede suhtes staatiliste momentide väärtused S = 0, ongi kujundi pinnakese. 5.10. Mis on lihtkujund? kujund, mille: * pinnakeskme asukoht on teada * pindala on hõlpsasti arvutatav * pindintegraalid on hõlpsasti arvutatavad. ring, rõngas, ristkülik, ruut, kolmnurk, jne. 5.11. Mis on liitkujund? kujund, mille: *pinnakeskme asukoht ei ole teada * pindala ei ole hõlpsasti arvutatav * pindintegraalide arvutamine on keerukas * saab jaotada lihtkujunditeks 5.12. Kuidas avalduvad liitkujundi pinnamomendid osakujundite pinnamomentide kaudu? liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks: A= 1±2 ±... liitkujundi staatilise momendi avaldis yz-teljestikus tuleb: 5.13
Seega Xdx + Ydy = (Y L+ D x - X y )dxdy Märkus: Greeni valem kehtib ka üldisematel eeldustel D peab olema kinnine piirkond, mille rajajoone L tükid on siledad. 20 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §5. PINDINTEGRAALID 1. Esimest liiki pindintegraalid Olgu pinnal määratud funktsioon f = f (x, y, z ) ( x, y, z ) . Jagame pinnatüki osadeks 1 , 2 ,..., n nii, et nad paarikaupa ei omaks ühiseid sisepunkte. Valime punktid Qi i i = 1,..., n . Def. Kui sõltumata pinna alajaotusest ja punktide Qi valikust eksisteerib lõplik piirväärtus n lim f (Qi )S ( i ) = I , kus = max d ( i ) ,
Tasapindkujundi staatiliste momentide Sy ja Sz väärtused sõltuvad yzteljestiku asendist kujundi suhtes (Joon. 5.5) ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui ka võrdsed 0ga. Nende telgede ristumispunkt, millede suhtes staatiliste momentide väärtused S = 0, ongi kujundi pinnakese. Iga sümmeetriatelje suhtes S = 0. 3.8 Mis on lihtkujund? Lihtkujund (ring, rõngas, ristkülik, ruut, kolmnurk jne) on kujund, mille pindintegraalid on hõlpsasti arvutatavad, pindala on hõlpsasti arvutatav ning pinnakeskme asukoht on teada. 3.9 Mis on liitkujund? Liitkujund on kujund, mille pinnakeskme asukoht ei ole teada, pindintegraalide arvutamine on keerukas, pindala ei ole hõlpsasti arvutatav ning saab jaotada lihtkujunditeks. 3.10 Kuidas avalduvad liitkujundi pinnamomendid osakujundite pinnamomentide kaudu?
Joonis 5.6 pinnakeskme asukoht on teada Lihtkujund = kujund, mille pindala on hõlpsasti arvutatav 142 4 43 4 (ring, rõngas, ristkülik, ruut, kolmnurk, jne. ) pindintegraalid on hõlpsasti arvutatavad S y = z C A Lihtkujundi staatilised momendid (pinnakeskme asukoha ja pindala järgi): S z = y C A kus: yC ja zC lihtkujundi pinnakeskme koordinaadid (mingis teljestikus), [m]; A lihtkujundi pindala, [m2]. 5.3.3
Joonis 5.6 pinnakeskme asukoht on teada Lihtkujund = kujund, mille pindala on hõlpsasti arvutatav 142 4 43 4 (ring, rõngas, ristkülik, ruut, kolmnurk, jne. ) pindintegraalid on hõlpsasti arvutatavad S y = z C A Lihtkujundi staatilised momendid (pinnakeskme asukoha ja pindala järgi): S z = y C A kus: yC ja zC lihtkujundi pinnakeskme koordinaadid (mingis teljestikus), [m]; A lihtkujundi pindala, [m2]. 5.3.3
17. II liiki pindintegraal, selle arvutamine ja omadused, näide DEF. Olgu pinnal Ω määratud kolm funktsiooni f(x,y,z), g(x,y,z) ja q(x,y,z), siis üldiseks II liiki pindintegraaliks nimetatakse summat: ʃʃΩfdxdy+gdxdz+qdydz= ʃʃΩfdxdy + ʃʃΩgdxdz + ʃʃΩqdydz Avaldist fdxdy+gdxdz+qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks. Kui pind Ω on sile ja funktsioon f on pidev sellel pinnal, siis eksisteerivad selle funktsiooni II pindintegraalid üle pinna Ω. OMADUSED II liiki pindintegraalide omadused on põhiliselt samad, mis I liiki pindintegraalidel(aditiivne, lineaarne, monotoonne) Lisaks nendele on II liiki pindintegraalidel veel kaks omadust: 1)Kui pind Ω on risti xy-tasandiga, siis ʃʃΩf(x,y,z)dxdy=0. Analoogiline lahendus on ka xz- ja yz projektsioonidel 2)Pinna Ω poole muutumisel muutub II liiki pindintegraali märk vastupidiseks (I liiki pindintegraalil jäi samaks) ARVUTAMINE
1 xc m x x, y, z dS 1 yc m y x, y, z dS 1 zc m z x, y, z dS 3.1.3.4 Pinna inertsmomendid Kui pinna pindtihedus on x, y, z siis selle pinna inertsmomendid koordinaattelgede suhtes on arvutatavad valemitega Ix y2 z2 x, y, z dS Iy x2 z2 x, y, z dS Iz x2 y2 x, y, z dS 3.2 Teist liiki pindintegraalid Olgu ruumis R 3 antud sile pind parameetriliste võrranditega x x u, v y y u, v , u, v D, z z u, v Näide. Sfääri x 2 y 2 z 2 R 2 parameetrilised võrrandid on x Rcos sin , y R sin sin , z R cos , 0, 2 , , 2 2 Sfäär on sile pind, s.t. tema igas punktis saab leida puutujatasandi ja normaali.
annaabi.ee 
