muutumispiirkonnaks arvude hulk. Sõnaline formuleering - Dirichle`t funktsiooni pole võimalik esitada graafiku abil, vaid defineeritakse sõnalise formuleeringu abil; arvu täisosa leidmine : arvu x täisosa on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x 6. Paaris- ja paaritud, perioodilised, kasvavad ja kahanevad funktsioonid (definitsioonid). Näited. Funktsioon f on paarisfunktsioon, kui f(−x) = f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsioonid on telje suhtes sümmeetrilised N: f(x) = x2; f(x) = cos x; f(x) = |x| Funktsioon f on paaritu funktsioon, kui f(−x) = −f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paaritud f-nid on 0-punkti suhtes sümmeetrilised. N: f(x) = x3; f(x) = sin x; f(x) = x Funktsioon f on piirkonnas X kasvav, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2 , 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2)
· Näited: [2,5]=2; [2,9]=2; [2]=2; [-2,5]=-3; [-2]= -2; [- 3,45]=-4; [0,(9)] 22. Murdosa funktsioon, graafik- · y={x}=x-[x] · [2,3]=2 · {2,3}=0,3 · {2}=0 · {-3,75}=0,25 23. Paarisfunktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks · Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus · f(-x)= f(x) · Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul · y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv) · + 24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1 x · . · Määramispiirkond kõik reaalarvud · Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud · Graafik läbib punkti (0;1) · Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
1< < , sin x cos x ja (hindame pöördväärtusi): sin x cos x < <1 (*) x Võrratus (*) kehtib ka siis, kui x (- , 0), sest selles esinevad funktsioonid on 2 paarisfunktsioonid. Kuna teoreemi 6 põhjal lim x0 cos x = 1, samuti lim x0 1 = 1, siis teoreemi 5 põhjal (keskmine muutuja omadus) saame seostest (*), et sin x limx0 = 1. x (esimene tähtis piirväärtus). 2) Vaatleme piirväärtust 1 x limx (1 + ) .
y = x2 © Allar Veelmaa 2014 10 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium ASTMEFUNKTSIOON y = x2n+1 y = x5 y = x3 © Allar Veelmaa 2014 11 11. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium PAARISFUNKTSIOONID 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 y = 0,5x4 – 2x2 y = x2 – 5 y = 1:x2
suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X : f (-x) = -f (x). Et N¨aites 1 esitatud funktsiooni y = x2 m¨a¨aramispiirkond X = [-1; 1] on s¨ ummeetri- line nullpunkti suhtes ja x X : f (-x) = (-x)2 = x2 = f (x), siis on see funktsioon paarisfunktsioon. Ka N¨aidetes 2 ja 3 esitatud funktsioonid on paarisfunktsioonid (kontrollige!). N¨ aites 8 on esitatud paaritu funktsioon. N¨aide 9. Uuurime, kas funktsioon y = log(x + x2 + 1) on paaris- v~oi paaritu funktsioon. Et x R : x + x2 + 1 > 0, siis X = R, st vaadeldava funktsiooni m¨a¨aramispiirkond X on s¨ ummeetriline nullpunkti uhidalt, -X = X), kusjuures
M¨arkus. Joonisel 5.5 on eeldatud, et l~oigul [a; b] on 0 g(x) f (x). Tegelikult on mittenegatiivsuse n~oue liigne. Valem kehtib, kui l~oigul [a; b] on t¨aidetud tingimus g(x) f (x). 1 x2 N¨aide 2. Arvutame joonega y = ja parabooliga y = piiratud 1 + x2 2 kujundi pindala. M~olemad vaadeldavad funktsioonid on paarisfunktsioonid, seega m~olema graafikud ja j¨arelikult ka nendega piiratud kujund (joonis 5.6) s¨ ummeetriline y-telje suhtes. Joonte l~oikepunktide abstsisside leidmiseks lahendame v~orran- y 1 -2 -1 1 2 x 1 x2 Joonis 5.6
annaabi.ee 
