Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n mn= (Pi)S, mis võrdub ligikaudselt piirkonna D massiga i=1 11. Tuletada valem tasandilise kujundi masskeskme koordinaatide arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu.
Vaatleme xy-tasandil joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jaotame piirkonna D mingite joontega n osaks: s1, s2, s3,..., sn, mida nim. osapiirkondadeks. Uute sümbolite kasutuselevõtmise vältimiseks mõistame s1,... ,sn all mitte ainult vastavaid osapiirkondi, vaid ka nende pindasid. Võtame igas osapiirkonnas s1 (selle sees või rajajoonel) mingi punkti P1, saades nii n punkti: P1, P2, P3,..., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D.
keskväärtusteoreem, näide Vaatleme tasapinnal xy joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu selles piirkonnas antud pidev funktsioon z=f(x,y). Jagame piirkonna D n osapiirkannaks, mille pindalad tähistame ΔS1, ΔS2 … ΔSn. Võtame igas piirkonnas punkti PiЄ ΔSi. Siis summat Vn=Σni=1f(Pi)ΔSi nimetame funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks. Kui eksisteerib piirväärtus, mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks int-ks ja tähistatakse: ʃʃDf(P)dS=ʃʃDf(x,y)dxdy Omadused: Aditiivsus: Kui D=D1UD2, siis ʃʃDf(x,y)dxdy=ʃʃD1f(x,y)dxdy+ʃʃD2f(x,y)dxdy Lineaarsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad, siis ka funktsioon z=af(x,y)+bg(x,y) on integreeruv ja kehtib võrdus ʃʃD[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = aʃʃDf(x,y)dxdy + bʃʃDg(x,y)dxdy Monotoonsus: Kui funktsioonid z=f(x,y) ja z=g(x,y) on integreeruvad ja
pindalad tähistame S 1 , S 2 , , S n . Võtame igas piirkonnas punkti P i S i . Siis summat n Vn i 1 f P i S i nimetame funktsiooni z f x, y integraalsummaks. Kui piirkonna D igas punktis f 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat Definitsioon. Kui eksisteerib piirväärus lim max S i 0 V n , mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide P i valikust osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z f x, y kahekordseks integraaliks ja tähiststakse f P dS f x, y dxdy. D D Kui kahe muutuja funktsioonil z f x, y on olemas kahekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Seega n f x, y dxdy lim max Si 0 i 1 f Pi Si.
sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu Vaatleme tasandilist piirkonda D, mis on kaetud mingi ainega nii, et piirkonna iga pindalaühiku kohta tuleb teatud hulk seda ainet. Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S. Olgu S mass mS ning pindala S. Suhet S= mS/S nimetatakse aine keskmiseks pindtiheduseks osapiirkonnas S. Võtame Si peal konkreetse punkti P. Vaatleme piirprotsessi, kus S kahaneb punktiks P. ( P ) = lim S - aine pindtihedus S 0 punktis P Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks Si, kus i=1,2,...,n. Olgu Si pindala Si ja PiSi (P)(Pi), kui PSi mSi=(Pi)Si Piirkonna D ligikaudne mass n mn = ( Pi )Si i =1 Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,..
19 7 Kordsed integraalid 7.1 Kahekordse integraali mo ~iste Olgu t~okestatud piirkonnas D m¨a¨aratud kahe muutuja funktsiooni f (x, y). Jagame piirkonna D suvalisel viisil n osapiirkonnaks s1 , s2 , . . . , sk , . . . , sn , kus sk , 1 k n, t¨ahendab kontekstist s~oltuvalt k-ndat osapiirkonda v~oi selle pindala. Valime igas osapiirkonnas suvalise punkti Pk (k , k ) sk ja moodusta- me korrutised f (Pk )sk . Kui eeldada, et f (Pk ) 0, siis korrutis t¨ahendab niisuguse p¨ustprisma ruumala, mille p~ohjaks on sk ja k~orgus f (Pk ). Summat n f (Pk )sk k=1 nimetetakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) integraalsummaks piirkonnas D. Geomeetriliselt vastab sellele prismade ruumalade summa.
annaabi.ee 
