8. Esimest liiki joonintegraal: põhjalik selgitus joonisega (vastava joone jaotus, integraalsumma jne); joone pikkus; silinderpinna pindala; joone mass. Olgu antud ruumiline kõverjoon l otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kolme muutuja funktsioon z=f(x,y,z). Käitume järgmiselt: 1. Jaotame joone l suvalisel viisil punktidega A= A0,A1,A2,..., An=B osakaarteks . Olgu sk osakaare pikkuseks (x=1,2,...,n) ning 2. Valime igal osakaarel juhusliku punkti 3. Edasi moodustame korrutised (k=1,2,...,n). 4. Leiame summa 5. Olgu 0 ning leiame Kui eksisteerib piirväärtus ja see ei sõltu joone AB osakaarte jaotamise viisist ega punktide
tasandi ja x-telje suhtes) Lause Kui f I(), kus ={(x,y,z)R3 | (a x b) (1(x) y 2(x)) (1 (x, y) z 2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0, +lõpmatus) [0, 2). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt [0 , +lõpmatus), [0,2) [0, ]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas.
˄ (ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y))} Siis Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π]. 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem. Teist liiki joonintegraal Kui eksisteerib piirväärtus Mis ei sõltu joone Г osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-Pj-1(j=1,...,n), siis nim. seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks projektsioonide järgi funktsioonist F=(X,Y,Z) mööda joont Г ja tähistatakse GREEN Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Г on tükiti sile, siis kehtib Greene valem: dx + Ydy = Yx – Xy)dxdy,
F c C(D) f c I(D). Teist liiki joonintegraal. Teist liiki joonintegraali ja kahekordse integraali seos. Greeni valem. 1dS := SD Kui eksisteerib piirväärtus lim(max sj 0) (j=0, n) X(Qj) xj + Y(Qj) yj + Z(Qj) zj, mis ei sõltu joone osakaarteks Kui f(P) >= 0 iga P c D korral ja f c C(D) ning := {(x,y,z) c R3 | ((x,y) c D), (0 <= z <= f(x,y))}, siis piirkonna ruumalaks V jaotamise viisist ega punkti Qj valikust osakaares Pj-1Pj(j=1,...,n), siis nimetatakse seda piirväärtust teist liiki joonintegraaliks ehk nimetatakse suurust V := f(P)dS
34 7 Joonintegraalid 7.1 Esimest liiki joonintegraali definitsioon ja omadu- sed Olgu antud tasandiline k~overjoon otspunktidega A ja B ja olgu sellel joonel defineeritud kahe muutuja funktsioon f (x, y), st igale joone punktile (x, y) on vastavusse seatud v¨a¨artus f (x, y). Jaotame joone AB suvalisel viisil punk- tidega A = P0 , P1 , P2 , . . . , Pk-1 , Pk , . . . , Pn = B osakaarteks Pk-1 Pk , k = 1, 2, . . . , n. Valime igal osakaarel juhusliku punkti Qk (k , k ) Pk-1 Pk . y Pk-1 Qk k B Pk x) f(
Greeni valem.Kui või puudub. Samuti on lokaalne ekstreemum tasandilõikel tasandiga x = x0, st ühe muutja funktsioonil z = ∬𝐷 𝑐𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑐 ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi alt välja. Omadus 3. eksisteerib piirväärtus lim ∑𝑛𝑗=0 𝑋(𝑄𝑗 )∆𝑥𝑗 + 𝑌(𝑄𝑗 )∆𝑦𝑗 + 𝑍(𝑄𝑗 )∆𝑧𝑗 ,mis ei sõltu joone Г osakaarteks 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 max ∆𝑆𝑗 →0 f(x0,y). Siis punktis P0 kas 𝜕𝑦 = 0 või puudub. Definitsioon 3
¨ I 2 / 10 Joone pikkuse arvutamine Esimest liiki joonintegraal Esimest liiki joonintegraal Definitsioon Kui eksisteerib piirva¨ artus ¨ n lim f (Qj )sj , max sj 0 j=0 ~ joone osakaarteks jaotamise viisist ega punkti Qj valikust mis ei soltu osakaares Pj-1 Pj (j = 1,. . . , n), siis nimetatakse seda piirva¨ artust ¨ esimest liiki joonintegraaliks ehk joonintegraaliks kaarepikkuse jargi ¨ funktsioonist f mo¨ oda ¨ ¨ joont ja tahistatakse f (x, y , z)ds
annaabi.ee 
