I Kahe paaritu funktsiooni korrutis on paarisfunktsioon.
I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
Definitsioon 4
Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant
T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x).
V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis
( > 0 n0 N : n > n0 a - < zn < a + ) zn a. Lause 6. Kui jada {xn } koondub ja selle jada piirv¨a¨artuseks on arv a, siis koondub ka jada {|xn |}, kusjuures selle jada piirv¨a¨artuseks on |a| , st xn a |xn | |a| . T~ oestus j¨ areldub jada piirv¨ a¨artuse definitsioonist ja kolmnurga v~orratusest: xn a ( > 0 n0 N : n > n0 |xn - a| < ) ||xn |-|a|||xn -a| ( > 0 n0 N : n > n0 ||xn | - |a|| < ) |xn | |a| . Lause 7. Kui jada {xn } koondub ja selle jada piirv¨a¨artuseks on arv a ning jada {yn } koondub ja selle jada piirv¨ artuseks on arv b, siis koonduvad ka jadad {cxn } (c =konst), {xn + a¨
f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨ hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis
f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis
konnad ning k¨a¨anupunktid. 2 2 2 2 Leiame y = -2xe-x ja y = -2e-x + 4x2 e-x = 2e-x (2x2 - 1). 2 Et 2e-x > 0, saame teise tuletise nullkohad v~orrandist 2x2 - 1 = 0, 1 1 millest x1 = - ja x2 = . 2 2 1 Kumeruspiirkonna leiame v~orratusest 2x2 - 1 < 0, millest - < x < 2 1 2 1 . N~ogususpiirkonna leiame v~orratusest 2x - 1 > 0, millest x < - v~oi 2 2 1 x > . Teist j¨aku tuletis muudab m¨arki m~olema leitud x v¨a¨artuse korral. 2 1 1 1 1
annaabi.ee 
