b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5.13) olevad piirv¨a¨artused on l~oplikud, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui aga need piirv¨a¨artused on l~opmatud v~oi neid ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. Definitsioon 7. P¨aratut integraali nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub p¨aratu integraal b |f (x)|dx. a N¨ aide 11. Uurime, kuidas s~oltub p¨aratu integraali b
¨ldtuntud omadust (nn pi- devuse aksioomi): hulga R iga u ¨lalt t˜okestatud mittet¨ uhjal alamhulgal A leidub u ¨lemine raja sup A, st v¨ahim u ¨lemine t˜oke. Samuti leidub hulga R igal alt t˜okestatud mittet¨uhjal alamhulgal A alumine raja inf A, st suurim alumine t˜oke. Teoreem 8.39 L˜oigud [a; b], pooll˜ oigud [a; b[, ]a; b] ja vahemi- kud ]a; b[ (lubatud on ka l˜opmatud pooll˜ oigud ja vahemikud) on sidusad hulgad ruumis R. T˜oestus. Olgu A kas l˜oik, pooll˜oik v˜oi vahemik ruumis R. Siis A on esitatav kujul A =< a; b >, kus < ja > t¨ahistavad u ¨hte s¨umbolitest ] ja [ ning a ja b v˜oivad olla ka l˜opmatused. Vastuv¨aiteliselt eeldame, et A pole sidus. Siis A avaldub kujul A = B ∪ C, B ∩ C = ∅, B = ∅, C = ∅, 8.2 Sidusad hulgad arvteljel 91
T¨ apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨ artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨ artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u¨htlase
u ¨ mbrusesse j¨arjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨apsemalt tuleb sellest juttu j¨ argmises peat¨ukis. T~okestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t~okestatuks, kui leidub l~oplik vahemik (a, b) nii, et A (a, b). T~okestatud hulgad on n¨aiteks k~oik l~oplikud vahemikud (a, b), l~oigud [a, b] ja pooll~oigud [a, b), (a, b]. T~okestamata hulgad on aga n¨aiteks l~opmatud va- hemikud (-, a), (a, ) ja l~opmatud pooll~oigud (-, a], [a, ). 1.2 J¨ a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v~oib omandada erinevaid arvulisi v¨a¨artusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline v¨a¨artus ei muutu, nimetatakse j¨a¨avaks suuruseks. N¨aiteks u
b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c ja tekkinud summas on liidetavad juba defineeritud t¨ uu¨pi p¨aratud integraalid. Kui arvutusvalemites (5.12) ja (5.13) olevad piirv¨a¨artused on l~oplikud, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal koondub, kui aga need piirv¨a¨artused on l~opmatud v~oi neid ei ole olemas, siis ¨oeldakse, et p¨aratu integraal hajub. Definitsioon 7. P¨aratut integraali nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub p¨aratu integraal b |f (x)|dx. a N¨ aide 11. Uurime, kuidas s~oltub p¨aratu integraali b
annaabi.ee 
