st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid. S~onastame need 12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal (x)dx (5.10)
xa xa xa xa = lim f (x) + (-1) lim g(x) = lim f (x) - lim g(x) . xa xa xa xa avad kehtima ka siis, kui neis esinev piirprotsess x a Omadused 1 - 5 j¨a¨ asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Omadusena 6 s~onastame liitfunktsiooni piirv¨a¨artuse arvutamise reegli: 6. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja z = g(y). Kui lim f (x) = b, xa siis kehtib valem lim g[f (x)] = lim g(y) . xa yb Omadus 6 j¨a¨ab kehtima ka siis, kui selles esinev piirprotsess x a asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest:
5. lim [f (x) - g(x)] = lim [f (x) + (-1)g(x)] = lim f (x) + lim [(-1)g(x)] xa xa xa xa = lim f (x) + (-1) lim g(x) = lim f (x) - lim g(x) . xa xa xa xa Omadused 1 - 5 j¨a¨avad kehtima ka siis, kui neis esinev piirprotsess x a asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest: x a- , x a+ , x - , x . Omadusena 6 s~onastame liitfunktsiooni piirv¨a¨artuse arvutamise reegli: 6. Olgu antud kaks funktsiooni y = f (x) ja z = g(y). Kui lim f (x) = b, xa siis kehtib valem lim g[f (x)] = lim g(y) . xa yb Omadus 6 j¨a¨ab kehtima ka siis, kui selles esinev piirprotsess x a asendada u ¨hega j¨argmistest piirprotsessidest:
Viimase x0 tingimuse kirjutame lim f (x + x) - f (x) = 0 ehk arvestades, et x on x0 fikseeritud punkt, st f (x) on kostant lim [f (x + x) - f (x)] = 0 x0 17 Definitsioon 8.3. Vahet f (x + x) - f (x) nimetetakse funktsiooni muu- duks ja t¨ahistatakse y, st y = f (x + x) - f (x) Kokkuv~otteks s~onastame teoreemi. Teoreem 8.1. (Funktsiooni pidevuseks tarvilik ja piisav tingi- mus) Funktsioon on pidev punktis x parajasti siis, kui funktsiooni muudu piirv¨a¨artus argumendi muudu l¨ahenemisel 0-le v~ordub 0-ga, st lim y = 0 (1.7) x0 1.2.9 Elementaarfunktsioonide pidevus Tingimuse (1.7) abil saab kontrollida p~ohiliste elementaarfunktsioonide pi- devust. Alustame funktsioonist y = x2
aide. 44 Lause 2 (vt [5], lk 8990). Suurus a (mis v~oib olla ka + v~oi - v~oi ) on funkt- siooni f (x) (parempoolne, vasakpoolne) piirv¨a¨artus punktis x0 , mis v~oib olla ka + v~oi - v~ oi , parajasti siis, kui funktsiooni f (x) m¨a¨aramispiirkonnas iga (paremalt, vasakult) punktile x0 l¨ aheneva jada {xn } puhul, kus xn = x0 (n N), kehtib seos lim f (xn ) = a. n S~onastame esiteks m~oningad funktsiooni piirv¨a¨artuse omadused. Nende omaduste t~oestused on sarnased jada piirv¨ a¨artuse vastavate omaduste t~oestustega. Lause 3. Konstantse funktsiooni piirv¨a¨artuseks on see konstant, st f (x) = c lim f (x) = c. xx0 Lause 4. Kui eksisiteerib funktsiooni f (x) piirv¨a¨artus punktis x0 , siis leidub punkti
annaabi.ee 
