= lim x0 1/ x / [f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] /= = lim x0 f(x + x) - f(x)/x * lim x0 g(x + x) + +f(x) * lim x0 g(x + x) - g(x) x= = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = (f'g + fg')(x). Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus- tatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s~oltuva muutuja ja a rgumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja s~oltuv muutuja y, siis kirju tades valemi u¨les punktis x, saame f'(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g'(y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja s~oltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame
Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨ artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks. M~onikord kasutatakse funktsiooni ja s~oltuva muutuja t¨ahistamiseks u ¨hte ja sama s¨umbolit. Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks.
y. Muutuja y v¨a¨artust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuseks kohal x ja t¨ahistatakse s¨ umboliga f (x). Seega v~oime kirjutada seose y = f (x) , (1.1) mis v¨aljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni v~orrandiks. M~onikord kasutatakse funktsiooni ja s~oltuva muutuja t¨ahistamiseks u ¨hte ja sama s¨umbolit. Sellisel juhul omab v~orrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramispiirkon- naks. M¨a¨aramispiirkonna t¨ahisena kasutame edaspidi s¨umbolit X. Hulka Y = {f (x) || x X} nimetatakse funktsiooni f v¨a¨artuste hulgaks.
2 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 x 0.8 1 1.2 Leiame, et Y = [0; 1]. Funktsioon y = x2 seab igale arvule l~oigust [-1; 1] vastavusse t¨apselt u ¨he arvu l~ oigust [0; 1]. Seega on vaadeldav funktsioon u ¨hene. M¨argime, et iga s~oltuva muutuja y v¨a¨ artus pooll~ oigust (0; 1] Y on kahe erineva argumendi v¨a¨artuse x kujutiseks, st kui vaadelda muutujat x muutuja y funktsioonina, saame mitmese funkt- siooni x = x(y). Seejuures x = - y (Y = [0; 1]) ja x = y (Y = [0; 1]) on selle kahese funktsiooni kaks erinevat haru. aide 2. Olgu y = |x| . Et N¨ x, kui x 0
x2 x1 x3 x2 x3 x1 Nende seoste t~ottu saame valemist (6.49) v~orduse rot F (P ) = 0. Seega v~oib v¨ aita, et potentsiaalne v¨ ali on keerisevaba. 24) Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral. Teeme selle protseduuri l¨abi nt n = 3 korral. Loeme muutuja y fikseerituks ja kirjutame v¨alja muutujast x s~oltuva funktsiooni f Taylori pol¨ unoomi punktis a: 1 2 2 1 3 f (a, y) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a) + f (a, y)(x - a)3 . (6.59) x 2! x2 3! x3 2 3 Siin esineb 4 argumendi y funktsiooni: f (a, y), x f (a, y), x 2 f (a, y) ja x3 f (a, y).
annaabi.ee 
