Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks
4). Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada f2 ja f1 vahe integraalina, st 44. Toestada keha ruumala valem ristloigete pindalade kaudu ja tuletada sellest poordkeha ruumala valem.(Vaatame konspekt paberises 134-136, voi 138-140) 45. Tuletada joone pikkuse valem. Joone pikkuse arvutamine. Olgu antud joon v~orrandiga y = f(x), kus a x b. T.ahistame selle joone pikkuse l- ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f(x) on diferentseeruv. Jaotame l~oigu [a, b] osal~oikudeks punktidega a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (joonis 5.8). T.ahistame xi = xi - xi-1 , yi = f(xi) - f(xi-1) Vaatleme osal~oigu [xi-1, xi] kohale j.a.avat joone osakaart li. See osakaar on suurendatult kujutatud joonisel 5.9. Kuna f(x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub "sirgemaks"). J.arelikult on v.aikese xi korral osakaar li ligikaudselt sirgl~oik ja joonisel 5.9 on ligikaudne t.aisnurkne kolmnurk
Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused xk , k = 1, 2, . . . , n erinevad. T¨ahistagu pikima osal~oigu pikkust st = max xk . 1kn Definitsioon 1. Kui piirv¨a¨artus lim sn 0 ei s~oltu sellest, kuidas on l~oik [a; b] jaotatud osal~oikudeks [xk-1 ; xk ], ega sel- lest, kuidas on valitud punktid k osal~oikudel, siis seda piirv¨a¨artust nimeta- takse funktsiooni f (x) m¨aa¨ratud integraaliks rajades a-st b-ni ja t¨ahistatakse b f (x)dx. a Seda loetakse: integraal rajades a-st b-ni f kohal x de x. Seejuures integereerimisl~oigu alguspunkti a nimetatakse alumiseks rajaks
M~ojugu temale j~oud F , mis u ¨ldiselt s~oltub koordinaadist x, st F = F (x). Eesm¨argiks on leida valem t¨o¨o A arvutamiseks, mille j~oud F teeb vaadeldava objekti liikumisel punktist a punkti b. Kui F on konstantne, siis avaldub t¨o¨o valemiga A = F (b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb t¨o¨o arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on j¨argmine: jaotame vaadeldava l~oigu [a, b] v¨aikesteks osal~oikudeks nii, et igal osal~oigul on j~oud ligikaudselt konstantne. Igal osal~oigul arvutame t¨o¨o eraldi, kasutades selleks u ¨laltoodud valemit. Seej¨arel liidame osal~oikudel tehtud t¨o¨od kokku saades t¨o¨ o tervel l~oigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse t¨o¨o valemi. T¨apse t¨o¨o valemi saame, kui muudame l~oigu t¨ ukelduse "l~opmata peeneks", st v~otame ligikaudsest t¨o¨ o valemist piirv¨a¨artuse pikima osal~oigu pikkuse l¨ahenemisel nullile.
M~ojugu temale j~oud F , mis u ¨ldiselt s~oltub koordinaadist x, st F = F (x). Eesm¨argiks on leida valem t¨o¨o A arvutamiseks, mille j~oud F teeb vaadeldava objekti liikumisel punktist a punkti b. Kui F on konstantne, siis avaldub t¨o¨o valemiga A = F (b - a). Kui F ei ole konstantne, siis tuleb t¨o¨o arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on j¨argmine: jaotame vaadeldava l~oigu [a, b] v¨aikesteks osal~oikudeks nii, et igal osal~oigul on j~oud ligikaudselt konstantne. Igal osal~oigul arvutame t¨o¨o eraldi, kasutades selleks u ¨laltoodud valemit. Seej¨arel liidame osal~oikudel tehtud t¨o¨od kokku saades t¨o¨o tervel l~oigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse t¨o¨o valemi. T¨apse t¨ o¨o valemi saame, kui muudame l~oigu t¨ ukelduse "l~opmata peeneks", st v~otame ligikaudsest t¨o¨o valemist piirv¨a¨artuse pikima osal~oigu pikkuse l¨ahenemisel nullile.
annaabi.ee 
