valem Olgu funktsiooni f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Defineerime l~oigul [a; b] m¨a¨aratud integraali u ¨lemise raja funktsiooni x (x) = f (t)dt (5.3) a Teoreem 2. Kui f (x) on pidev l~oigul [a; b], siis (x) = f (x). T~oestus. T~oestuseks kasutame funktsiooni (x) definitsiooni (x + x) - (x) (x) = lim . x0 x Kasutades m¨aa¨ratud integraali l~oigul aditiivsuse omadust leiame x+x x (x + x) - (x) = f (t)dt - f (t)dt =
T~ oestus. L¨ ahtume jada piirv¨ a¨artuse definitsioonist. Et suvalise > 0 korral |xn - c| = |c - c| = 0 < , siis ( > 0 n0 N : n > n0 |xn - c| = 0 < ) xn c. Lause 2. Jada koonduvusest j¨areldub selle jada t~okestatus, st xn a xn = O(1). T~ oestuseks kasutame j¨ argmist v¨aidete ahelat def. xn a ( = 1 n0 N : n > n0 |xn - a| < 1) kasutame kolmnurga v~orratust ||xn | - |a|| |xn - a| (n > n0 |xn | - |a| < 1) M =max{|a1 |, |a2 |, ..
6 (X + Y ) = X + Y, 7 ( + µ)X = X + µX, 8 (X - Y ) = X - Y, 9 ( - µ)X = X - µX. Nende omaduste t~oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omaduste- le (1.11)-(1.15). Vaatamata sellele, et nende omaduste t~oestused on u ¨sna sarnased, esitame nad siiski k~oik. T~oestuseks lisame: 1X = 1(xij ) = (1xij ) = (xij ) = X = 1X = X, (-1)X = (-1)(xij ) = ((-1)xij ) = (-xij ) = -X = (-1)X = -X, 0X = 0(xij ) = (0xij ) = (oij ) = = 0X = , = (oij ) = (oij ) = (oij ) = = = , (µ)X = (µ)(xij ) = ((µ)xij ) = ((µxij ) = (µX) = = (µ)X = (µX), (X + Y ) = ((xij ) + (yij )) = ((xij + yij )) = (xij + yij ) = = (xij ) + (yij ) = (xij ) + (yij ) = X + Y =
◦ 7 (λ + µ)X = λX + µX, ◦ 8 λ(X − Y ) = λX − λY, ◦ 9 (λ − µ)X = λX − µX. Nende omaduste t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omaduste- le (1.11)−(1.15). Vaatamata sellele, et nende omaduste t˜oestused on u ¨sna sarnased, esitame nad siiski k˜oik. T˜oestuseks lisame: 1X = 1(xij ) = (1xij ) = (xij ) = X =⇒ 1X = X, (−1)X = (−1)(xij ) = ((−1)xij ) = (−xij ) = −X =⇒ (−1)X = −X, 0X = 0(xij ) = (0xij ) = (oij ) = θ =⇒ 0X = θ, λθ = λ(oij ) = (λoij ) = (oij ) = θ =⇒ λθ = θ, (λµ)X = (λµ)(xij ) = ((λµ)xij ) = (λ(µxij ) = λ(µX) =⇒ =⇒ (λµ)X = λ(µX),
T~oestus j¨areldub eelmisest teoreemist lim cy = lim c · lim y xa xa xa ja sellest, et konstantse suuruse piirv¨a¨artus v~ordub konstandi endaga lim c = c. xa J¨ areldus 5.4. Kahe muutuva suuruse vahe piirv¨aa¨rtus on v~ordne nende suuruste piirv¨a¨artuste vahega, st lim (y - z) = lim y - lim z. xa xa xa T~oestuseks kirjutame lim (y - z) = lim (y + (-1)z) xa xa Teoreemi 5.1 p~ohjal lim (y + (-1)z) = lim y + lim (-1)z xa xa xa ja j¨arelduse 5.3 p~ohjal lim y + lim (-1)z = lim y - lim z xa xa xa xa Teoreem 5.5. Kahe muutuva suuruse jagatise piirv¨a¨artus on v~ordne nen-
B(xn(k) ; ) ⊂ B(x0 ; ) ⊂ G0 . n(k) See aga on vastuolus elemendi xn(k) valikuga. Teoreem 7.31 Meetrilise ruumi X jaoks on j¨ argmised kolm tingimust samav¨a¨arsed: 10 X on kompaktne; 20 iga l˜opmatu alamhulk ruumist X omab piirpunkti; 30 igal jadal ruumist X leidub koonduv osajada. T˜oestus. Implikatsioon 10 =⇒ 20 j¨areldub teoreemist 7.1. Lemmast 7.2 j¨areldub ekvivalents 20 ⇐⇒ 30 . Teoreemi t˜oestuseks piisab veel n¨aidata implikatsioon 30 =⇒ 10 . Eeldame, et meetriline ruum X rahuldab tingimust 30 . Valime ruumi X mis tahes lahtise katte A ja n¨aitame, et tal leidub l˜oplik osakate. Lemma 7.4 kohaselt valime > 0 nii, et iga x ∈ X jaoks leidub Gx ∈ A omadusega B(x; ) ⊂ Gx . (7.12) N¨aitame, et leiduvad sellised punktid x1 , . . . , xn ∈ X, et X = ∪ni=n B(xi ; ). (7.13)
annaabi.ee 
