N¨aidata, et integreeruv funktsioon on t ~okestatud. 12. N¨aidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) v¨alja arvatud l ~oplikus arvus punktides, siis 23). (Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju). Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n-järku Taylori valemi 13. M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni
q q nij = tij ± mij = xis zsj ± yis zsj . (1.28) s=1 s=1 V~orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , i Np , j Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Kuna valemi (1.23) t~oestus on analoogiline eelmise t~oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. 1 Mistahes maatriksite X, Y M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2 Mistahes a R ja X Mat korral (aX) = aX . 3 Mistahes X Mat(p, q) ja Y Mat(q, s) korral
q q nij = tij ± mij = xis zsj ± yis zsj . (1.28) s=1 s=1 V˜orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame wij = nij , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . Seega (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. ♠ 4◦ Kuna valemi (1.23) t˜oestus on analoogiline eelmise t˜oestusega, siis j¨atame selle lugejale. Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule- museks sama j¨arku ruutmaatriksi. 1.5. Maatriksite transponeerimise omadused Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused. ◦ 1 Mistahes maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) korral (X ± Y ) = X ± Y . 2◦ Mistahes a ∈ R ja X ∈ Mat korral (aX) = aX .
n a. 13.10 n a arvutamine Teoreem 10. Olgu a = |a|ei . Siis +2k n a= n |a|ei n , k = 0, 1, . . . , n - 1 kus n unoomi xn - |a| ainus reaalarvuline juur. |a| on pol¨ T~ oestus. Analoogiline u ¨hejuurte valemi t~ oestusega. 13.11 N¨ aide Et i = 1ei 2 , siis +2k 2 ei n i= n , k = 0, 1, . . . , n - 1 V~ otame n = 3. Saame +2k 2 ei 3
y st y > 0 ja > 0. Kui x < 0, siis x + x < x ja eelduse kohaselt x y f (x + x) < f (x), st y < 0 ja > 0. J¨arelikult x y f (x) = lim 0. x0 x Teoreem 2. Kui funktsioon f (x) on kahanev piirkonnas X, siis selles piirkonnas f (x) 0. T~oestus on analoogiline teoreemi 1 t~oestusega. Teoreem 3. Kui f (x) on diferentseeruv piirkonnas X ja f (x) > 0 , siis funktsioon f (x) on selles piirkonnas kasvav. T~oestus. Fikseerime piirkonnas X kaks argumendi v¨a¨artust x1 ja x2 , sel- liselt, et x1 < x2 . Et funktsioon on diferentseeruv, siis on vahemikus (x1 ; x2 ) rakendatav Lagrange'i teoreem, mille kohaselt leidub selline (x1 ; x2 ), et f (x2 ) - f (x1 ) = f ()(x2 - x1 ). 14
n→∞ n→∞ Kui x = y, siis punktidel x ja y leiduvad mittel˜oikuvad u ¨mbru- sed U ja V, U ∩V = ∅. Jada piirv¨a¨artuse definitsiooni kohaselt leiduvad sellised n0 ja n1 , et n ≥ n0 =⇒ xn ∈ U ; n ≥ n1 =⇒ xn ∈ V. Siis n ≥ max {n0 , n1 } korral xn ∈ U ∩ V = ∅, mis on v˜oimatu. J¨arelikult x = y ja 30 kehtib. 40 Omaduse 40 t˜oestus on analoogiline omaduse 30 t˜oestusega. 6.2 Hausdorffi ruumi omadusi 65 50 Olgu kujutus f : Y −→ X pidev. N¨aitame, et tema graafik Gf on kinnine, st (Y × X) Gf on lahtine. Selleks valime mis tahes punkti p = (y; z) ∈ (Y × X) Gf ja piisab ¨mbrus U (p), et U (p) ⊂ n¨aidata, et punktil p leidub selline u (Y × X) Gf ehk U (p) ∩ Gf = ∅. T¨ahistame f (y) = x. Siis p ∈ Gf t˜ottu x = z ja punktidel
annaabi.ee 
