|MN| = f(x) - kx - b. Seega lim x [f(x) - kx - b] = 0 Tuues x sulgude ette saame lim x x *(f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles valemis oleva korrutise x * (f(x)/ x)- k (b/ x) esimene tegur x l¨aheneb l~opmatusele, kuid korrutis ise l¨aheneb nullile. J¨arelikult peab teine tegur l¨ahenema nullile, st lim x (f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles avaldises b /x 0, kui x . Seega lim x(f(x)/ x- k)= 0 ehk lim x f(x)/ x- k = 0 ehk k = lim x f(x)/ x b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F'(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~oik funk- tsiooni f algfunktsioonid
Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s~oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s~oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g'(y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja s~oltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]}' = dz /dx. Kasutades neid valemeid arvutame: {g[f(x)]}' = dz /dx = dzdy /dydx = dz/dy * dy/dx = g'(y)f'(x) = g'[f(x)]f'(x). Seega oleme t~oestanud j¨argmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks: 6. dz /dx = dz /dy * dy /dx ehk {g[f(x)]}' = g'[f(x)]f'(x). 21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v~orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v~orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ~ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada
2n < 1 + - < (-1) 2n < 2n < 1 < 2 2 > n > log2 . 1 n n 1 1 arelikult: kui me etteantud > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 , J¨ siis kehtib xn (1 - , 1 + ) iga xm -le j¨argneva jada liikme xn korral. Seega on jada( piirv¨a¨ artuse ) definitsioon t¨aidetud arvuga a = 1. Olemegi t~oestanud, n et lim 1 + (-1)2n = 1. Illustreerime seda t~oestust veel m~onede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja m~oned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu = 0.1. N¨aeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k~oik j¨argnevad jada elemendid u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ) = (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1). J¨ argmiseks olgu = 0.05
1 - < xn < 1 + 1 - < 1 + (-1) 2n < 1 + - < (-1) 2n < 1 n n 1 1 2n < 1 < 2 2 > n > log2 . J¨arelikult: kui me etteantud > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 , siis kehtib xn (1 - , 1 + ) iga xm -le j¨argneva jada liikme xn korral. Seega on jada piirv¨a¨artuse definitsioon t¨aidetud arvuga a = 1. Olemegi t~oestanud, n et lim 1 + (-1)2n = 1. Illustreerime seda t~oestust veel m~onede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja m~oned jada esimesed elemendid: x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875, x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . . Olgu = 0.1. N¨aeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k~oik j¨argnevad jada elemendid u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ) = (1 - 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1). J¨argmiseks olgu = 0.05
|A| 1 = (|A|ij ) = ij = dij = ij , i, j Nn . |A| Siin me kasutasme determinantide teooria p~ohivalemit (6.5). Saime AA-1 = (dij ) = (ij ) = E = AA-1 = E. Seega konstrueeritud maatriks A-1 rahuldab v~orranditest (6.1) esimest. Lugeja hooleks j¨atame kontrollida, et maatriks A-1 rahuldab ka v~orrandit 45 AX = E. Seega oleme t~oestanud, et maatriks (6.7) on maatriksi p¨o¨ord- maatriks. Teeme n¨uu ¨d veel m~oned j¨areldused p¨o¨ ordmaatriksi kohta. Omadus 6.4. Regulaarsete n-j¨ arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B -1 A-1 . T~oestus. Kuna maatriksid A ja B on regulaarsed, siis leiduvad, nagu teame, p¨o¨ordmaatriksid A-1 ja B -1 , kusjuures 1 ~ 1 ~
1 = (|A|δij ) = δij =⇒ dij = δij , ∀ i, j ∈ Nn . |A| Siin me kasutasme determinantide teooria p˜ohivalemit (6.5). Saime AA−1 = (dij ) = (δij ) = E =⇒ AA−1 = E. Seega konstrueeritud maatriks A−1 rahuldab v˜orranditest (6.1) esimest. Lugeja hooleks j¨atame kontrollida, et maatriks A−1 rahuldab ka v˜orrandit 45 AX = E. Seega oleme t˜oestanud, et maatriks (6.7) on maatriksi p¨o¨ord- maatriks. ♠ Teeme n¨uu ¨d veel m˜oned j¨areldused p¨o¨ ordmaatriksi kohta. Omadus 6.4. Regulaarsete n-j¨ arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B −1 A−1 . T˜oestus. Kuna maatriksid A ja B on regulaarsed, siis leiduvad, nagu teame, p¨o¨ordmaatriksid A−1 ja B −1 , kusjuures
annaabi.ee 
