T˜oestus. Olgu hulga X igale alamhulgale A pandud vas- tavusse A ∈ P(X) nii, et on rahuldatud n˜ouded 10 − 40 . Kui hulgal X leidub topoloogia, mille suhtes A on hulga A sulund iga A ∈ P(X) puhul, siis teoreemi 3.2 omaduse 30 kohaselt on selle topoloogia k˜oigi kinniste hulkade s¨ usteemiks hulk K = { A ∈ P(X) | A = A } ja j¨arelikult on mainitud topoloogia tema olemasolu korral u ¨heselt m¨a¨aratud. Teoreemi t˜oestamiseks peame veel n¨aitama, et hulk K on mingi topoloogia k˜oigi kinniste hulkade hul- gaks ning A on selle topoloogia suhtes hulga A sulundiks iga A ∈ P(X) korral. N¨aitame, et K rahuldab omadusi 10 − 30 teoreemist 1.2, st ta on mingi topoloogia K suhtes k˜oigi kinniste hulkade hul- gaks. Eelduse 10 t˜ottu ∅ ∈ K. Eelduse 20 t˜ottu X = X, st X ∈ K. J¨arelikult rahuldab K omadust 10 teoreemist 1.2. Olgu Fi ∈ K, i ∈ I ja F = ∩i∈I Fi . Siis iga i ∈ I korral
E1 M at(n, n) ja E2 M at(m, m) korral XE1 = X, E2 X = X. (1.22) Maatriksite korrutamine on nii liitmise kui ka lahutamise suhtes dist- ributiivne. 3 Mistahes kolme maatriksi X, Y M at(p, q) ja Z M at(q, r) korral (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Mistahes kolme maatriksi X M at(p, q) ja Y, Z M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t~oestamiseks kasutame summeerimism¨arki ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t~oestamine u ¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , i Np , j Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1 - 4 t~oestamist. 16 1 Maatriksite
XE1 = X, E2 X = X. (1.22) Maatriksite korrutamine on nii liitmise kui ka lahutamise suhtes dist- ributiivne. ◦ 3 Mistahes kolme maatriksi X, Y ∈ M at(p, q) ja Z ∈ M at(q, r) korral (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4◦ Mistahes kolme maatriksi X ∈ M at(p, q) ja Y, Z ∈ M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t˜oestamiseks kasutame summeerimism¨arki Σ ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t˜oestamine u¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab Σ abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1◦ − 4◦ t˜oestamist. 16 1◦ Maatriksite
xn a v~oi lim xn = a . 29 L~oplikku piirv¨a¨ artust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. n N¨aide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (-1) 2n . Taolise jada piirv¨ a¨artus on 1. Selle t~oestamiseks kontrollime piirv¨a¨artuse definitsiooni kehtivust arvuga a = 1. Vastavalt definitsioonile peame me n¨aitama, et suvalise kuitahes v¨aikese positiivse arvu leidub selline jada element, millest alates k~oik j¨argnevad jada elemendid kuuluvad arvu 1 u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ). Taolisesse u ¨mbrusesse kuuluvad jada elemendid rahuldavad v~orratust 1 - < xn < 1 + . Lahendame selle v~orratuse arvu n suhtes: n n
xn a v~oi lim xn = a . 29 L~oplikku piirv¨a¨artust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. n N¨aide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (-1) 2n . Taolise jada piirv¨ a¨artus on 1. Selle t~oestamiseks kontrollime piirv¨a¨artuse definitsiooni kehtivust arvuga a = 1. Vastavalt definitsioonile peame me n¨aitama, et suvalise kuitahes v¨aikese positiivse arvu leidub selline jada element, millest alates k~oik j¨argnevad jada elemendid kuuluvad arvu 1 u ¨mbrusesse (1 - , 1 + ). Taolisesse u ¨mbrusesse kuuluvad jada elemendid rahuldavad v~orratust 1 - < xn < 1 + . Lahendame selle v~orratuse arvu n suhtes: n n
y = u(x + x) + v(x + x) - [u(x) + v(x)] = u + v Funktsioonide u ja v pidevuse t~ottu tingimusest (1.7) lim u = 0 ja x0 lim v = 0, aga siis ka piirv¨aa¨rtuse omaduse t~ottu x0 lim y = lim u + lim v = 0 x0 x0 x0 st summa jaoks on pidevuse tarvilik ja piisav tingimus punktis x t¨aidetud. Viimase v¨aite t~oestamiseks fikseerime j¨alle u ¨he argumendi v¨a¨artuse x ja l¨ahtudes sellest muudame argumenti x v~orra. Argumendi muudule x vas- tab funktsiooni u = (x) muut u = ((x) + x) - (x), mis u¨htlasi kujutab endast argumendi muutu funktsiooni y = f (u) jaoks. Sellele argumendi muudule vastab funktsiooni muut y = f (u + u) - f (u) 19
annaabi.ee 
